固体物理复习总结

第一章晶体结构1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij由倒格子基矢的定义：1232()baa31230,,22(),0,224,,022aaaaaaaaaa，223,,,0,()224,,022ijkaaaaaijkaa213422()()4abijkijkaa同理可得：232()2()bijkabijka即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk由倒格子基矢的定义：1232()baa3123,,222(),,2222,,222aaaaaaaaaaaaa，223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaa213222()()2abjkjkaa同理可得：232()2()bikabija即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为求其倒格基矢。解：晶胞体积为其倒格矢为4、一晶体原胞基矢大小ma10104，mb10106，mc10108，基矢间夹角90，90，120。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai1a)2321(2jiabkac3由此可知：][2321321aaaaab=abcbc23)2123(2ji=)31(2jia][2321132aaaaab=abcac232j=j322b][2321213aaaaab=abcab23232k=kc2所以1b＝22)31(12a＝110108138.134ma2b＝2)32(2b＝110102092.134mb3b＝212c＝110107854.02mc(2)正格子原胞的体积为：][321aaa＝)]()2321([)(kjiicba＝328106628.123mabc倒格子原胞的体积为：][321bbb＝)](2)32(2[)31(2kjjicba＝3303104918.1316mabc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：hhdK2=3210122bbb=ji)3434(42baa=mbaa1022104412.1)3131()1(1425、已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝2.45×10-10m。试求：(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距；(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：ad43故mda101045.23434=m101059.5(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：)(10795.2)(2)(10795.2)(2)(10795.2)(2103102101jijiaikikakjkjaaaa其倒格子基矢为：)(10124.1)(2)(10124.1)(2)(10124.1)(2103102101kjikjibkjikjibkjikjibaaa(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：mad1032111011010795.2201122bbbK(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢110K和111K之间的夹角，设为，则有：—Ga原子—As原子321321321321111110111110111011)111()011(arccosbbbbbbbbbbbbKKKK＝55.107)3015.0arccos(6、Si具有金刚石结构，其原子间距为0.235nm，原子量为28，计算的Si密度。解：Si为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长度为L=0.235×4=0.94nm；金刚石结构的晶胞边长为2/30.5427alnm晶胞的体积为330.159846vanm每个晶胞包含8个原子则1摩尔（28克）包含的晶胞数目为N=0.752875×1023，对应体积为V=Nv=12.0344cm3，密度为m=28/V=2.327克/cm3第二章晶格动力学1、什么是简谐近似？为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气体？解：1当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。2简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休．考虑到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞．这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻．2、什么是晶格振动的光学支和声学支？长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?答：1离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。2长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数.任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3„。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。4、一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM。相邻原子间距均为a，恢复力系数为β，晶格常量为2a。试证明格波的色散关系：解：5、在一维双原子链中，如1/mM，（1）求证：qaMsin21；2122)cos1(2qaMmm。（2）画出与q的关系图（设10/mM）。解：（1）在一维双原子链中，其第n2个原子与第12n个原子的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm………………（1）为解方程组（1）可令])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）当（4）式中取“－”号时，有212221)sin)(41(1)(qamMMmmMmM……………（5）∵1/mM，∴（5）式中有mMmMMmmM)(，1sin4sin4sin)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（5）式可简化为qaMqaMmmqaMmm2221221sin2)sin4211(1)sin41(1∴qaMsin21当（4）式中取“＋”号时，有212222cos)(41)()(qamMMmMmmMMmmM……………（6）∵1/mM，∴（6）式中有mMmMMmmM)(，mMmMMmmM)(1cos4cos4cos)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（6）式可简化为)cos1(2)cos4211()cos41(2221222qaMmmqaMmmmqaMmmm∴2122)cos1(2qaMmm（2）当10/mM时，则（4）式可化为qammm222222sin521001211011此时，与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：图3.5一维双原子链振动的色散关系曲线qωOa2aa2am5/m5/m/2m5/116、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。2)q→0,声学支和光学支格波分别有什么特点？解：设第n2个原子为轻原子，其质量为m，第12n个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm…………………（1）为解方程组（1）可令])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）令a