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中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部1龙文教育学科教师辅导讲义课题5.3多项式乘法5.4乘法公式（一）（二）教学目标1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。学会用多项式乘法法则进行计算。2.培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。3.通过运算多项式乘法，来推导并掌握平方差公式。学会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。4.会运用平方差公式进行简便计算。重点、难点1.重点是掌握多项式的乘法法则并加以运用。难点是理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算。2.重点：平方差公式。难点：构造图形来解释平方差公式。考点及考试要求教学内容5.3多项式的乘法：一、回顾与思考整式的乘法实际上就是：单项式×单项式、单项式×多项式和今天学多项式×多项式二、探索法则与应用（a+n）（b+m）＝a（b+m）+n（b+m）＝ab+am+nb+nm根据分配律，我们也能得到下面等式：（a+n）（b+m）＝ab+am+nb+nm1.多项式乘法法则：乘法对加法的分配律：多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。2.注意事项⑴多项式乘法中，每一项应连同符号相乘；⑵要防止漏乘；⑶多项式相乘的积在没有合并同类项前,所得的项数是两个多项式项数的积；⑷乘积中，有同类项时一定要合并，得到最简结果.3.例题讲题例1计算（1）（x+y）（a+2b）（2）（3x-1）（x+3）法则的作用。中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部2例2先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4），其中a＝2/17解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a＝17a-3当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-14.典例精析例1.计算：(1)(1－x)(0.6－x)(2)(2x+y)(x－y)【解析】(1)(1－x)(0.6－x)=(0.6－x)－x(0.6－x)=0.6－x－0.6x+x2=0.6－1.6x+x2或(1－x)(0.6－x)=1×0.6－1×x－0.6x+x·x=0.6－x－0.6x+x2=0.6－1.6x+x2(2)(2x+y)(x－y)=2x(x－y)+y(x－y)=2x2－2xy+xy－y2=2x2－xy－y2或(2x+y)(x－y)=2x·x－2x·y+x·y－y2=2x2－xy－y2【点评】在做的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.基础巩固1.计算m2－(m+1)(m－5)的结果正确的是()A.－4m－5B.4m+5C.m2－4m+5D.m2+4m－52．(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为－2，则a的值为()A.－2B.1C.－4D.以上都不对3.一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）A.五项B.六项C.三项D.四项4.（x－4）(x+8)=x2+mx+n则m、n的值分别是（）A.4，32B.4，－32C.－4，32D.－4，－325.直接写出下面各式的计算结果：(1)(m+2n)(m－2n)=(2)(2n+5)(n－3)=(3)(x+2y)2=6.计算：(1)(1－x)(0.6－x)(2)(2x+y)(x－y)(3)(x－y)2(4)(－2x+3)2(5)(x+2)(y+3)－(x+1)(y－2)7.先化简，再求值：(x－y)(x－2y)－21(2x－3y)(x+2y),其中x=2,y=52.能力拓展8.已知多项式x2＋ax＋b与x2－2x－3的乘积中不含x3与x2项，则a、b的值为()A．a＝2，b＝7B．a＝－2，b＝－3C．a＝3，b＝7D．a＝3，b＝49．当x＝－3时多项式ax5－bx3＋cx－8的值为8，则当x＝3时，它的值为()A．8B．－8C．24D．－24中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部310.如果(x+m)(2x+21)的积中不含x项，则m等于()A.1／4B.－1／4C.1／2D.－1／211.(教材作业第1题变式)下列等式①x(x－y)－y(3y－2x)=x2－3xy－3y2②－21ab2(b3－ab2+2a3b)=－21ab5+21a2b4－a4b3③(a－b)(a+b)=a2－ab+b2④(2x+y)(4x2+2xy+y2)=8x3+y3中，正确的是()A.0个B.1个C.2个D.3个12.运算(-3x)2-2(x-5)(x-2)=.13．(教材作业第4题变式)长方形的一边长3m+2n,另一边比它大m-n,则长方形的面积为.14.计算：(1)5(x－1)(x+3)－2(x－5)(x－2)(2)(3x－2y)(2x－3y)(3)(a－b)(a2+ab+b2)(4)(3y+2)(y－4)－3(y－2)(y－3)15.(教材例1变式)解方程：8x2-(2x-3)(4x+2)=1416.(一题多解)(2a－3b)2·(2a＋3b)2三、拓展延伸，探索挑战（1）（a+b）（a2-ab+b2）（2）（a+b+c）（c+d+e）四、综合探究1.计算下列各式，猜想规律：(x－1)(x+1)=.(x－1)(x2+x+1)=.(x－1)(x3+x2+x+1)=.(x－1)(x4+x3+x2+x+1)=.…(x－1)(xn+xn－1+…+x+1)=.2.为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长a厘米，宽为43a厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是多少平方厘米？中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部45.4乘法公式（1）【学习目标】1、通过运算多项式乘法，来推导并掌握平方差公式。2、学会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。3、会运用平方差公式进行简便计算。【学习重点、难点】重点：平方差公式。难点：构造图形来解释平方差公式。【学习过程】一、引入问题1.计算下列各题：①（a＋2）（a－2）②（3－x）（3＋x）③（2m＋n）（2m－n）2.问题：在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？二、学习新知１.平方差公式观察等式两边的特征，分析产生这些特点的内在联系，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：（a＋b）（a－b）＝a2－b2即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。２.几何解释平方差公式展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。（1）请计算图的阴影部分的面积（用正方形的面积公式计算）。（2）小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少？你能表示出它的面积吗？图1图2（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？3.例题练习1、例1利用平方差公式计算：（1）（3x＋5y）（3x－5y）；（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）（3）（-m＋n）（-m－n）仔细观察例题，找出两个多项式之间的相同点和不同点：两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数。符合运用平方差公式的条件：把每个多项式的第一项看作是a，第二项看作是b。ababbb中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部5解：(1)(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2↓↓↓↓（a＋b）（a－b）＝a2－b2（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2↓↓↓↓（a＋b）（a－b）＝a2－b2（3）（-m＋n）（-m－n）＝（-m）2－n2＝m2－n2↓↓↓↓（a＋b）（a－b）＝a2－b22、例2用平方差公式计算（1）103×93（2）59.8×60.2解：（1）103×93＝（100＋3）×（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991（2）59.8×60.2＝（60－0.2）×（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96思考：（103×93）比100×100小，59.8×60.2比60×60小你发现了什么？计算：5678×5680－56792三、应用新知例1利用平方差公式计算：（1）（3x＋5y）（3x－5y）；（2）（0.5b＋a）（－0.5b＋a）（3）（－m＋n）（－m－n）例2用平方差公式计算（1）103×97（2）59.8×60.2四、针对练习：1、用平方差公式计算（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）（2）（-2x＋3y）（-2x－3y）中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部6（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计算？(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1总结：符号相同的看作a，符号不同的看作b1)(a+2b+3)(a+2b-3)[(a+2b)+3][(a+2b)-3]2)(a+2b-3)(a-2b+3)[a+(2b-3)][a-(2b-3)]3)(a-2b+3)(a-2b-3)[(a-2b)+3][(a-2b)-3]4)(a-2b-3)(a+2b-3)[(a-3)-2b][(a-3)+2b]5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)[(-5b)+(3a-2c)][(-5b)-(3a-2c)]6)(x+y+m+n)(x+y-m-n)[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]2.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？1)(a-b+c)(a-b-c)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)4)(a-b+c-d)(-a-b-c-d)3.一养鸡专业户改建一个边长为a米地正方形养鸡场，计划纵向扩大3米，横向缩短3米，改建为长方形养鸡场，问改建后地养鸡场地面积有没有变化问号？就像如果有变化，变化多少?4.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”。如8=32-12,16=52-32,24=72-52，因此啊，6，24这三个数都是奇特数。（1）32和2008这两个数是奇特数吗？为什么？（2）设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？四、探究延伸，发展能力1.探究：怎样计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)+1？中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部72.用平方差公式计算（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）（2）（-2x＋3y）（-2x－3y）（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）5．4乘法公式（２）【学习目标】1、探索并掌握完全平方公式。2、会用完全平方公式进行多项式的乘法运算。【学习重点、难点】重点：理解完全平方公式，运用公式进行计算。难点：从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推理方法；判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。。【学习过程】一、回顾与思考复习平方差公式及如何运用。二、合作学习，学习新知１、运用多项式与多项式相乘的法则计算（1）（a＋b）2（2）（2＋x）2（3）（2a＋x）2观察上述3题的计算结果，你发现有什么规律？２、几何探究如图你能用不同方法表示上图的面积吗？３、形成公式，巩固练习综上所述，我们有以下两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。模仿练习：（a＋1）2＝（3＋x）2＝（2a＋3b）2＝abba中小学1对1课外辅导专家龙文教育·教务管理部8４、换元拓展问；（a－b）2等于什么？是否可以写成[a＋（-b）]2?你能继续做下去吗？两数和的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。模仿练习：（y－7）2＝（7－y）2＝三、应用知识1、探求规律在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用