全等三角形证明条件归类

1全等三角形证明条件归类初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件例1：如图，在ABDABC与中，AC=BD，AD=BC，求证：ABC≌ABD证明：△ABD和△BAC中：∵BD=ACBC=ADAB=BA(公共边)∴ABC≌ABD（SSS）二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件例1：如图2，已知AC=DF,∠A=∠D,AE=BD,求证：ΔABC≌ΔDEF证明：∵AE=BD∴AE+EB=BD+EB（即AB=DE）在△ABC和△DEF中∵AC=DF∠A=∠DAB=DE∴ΔABC≌ΔDEF（SAS）例2如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。∵CE=FB∴CE+EF=EF+FB（即CF=BE）∵AB=DCAE=DFCF=BE∴△ABE≌△CDF（SSS）∴AF=DE三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件例1：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CFADCBBACEFD第2图FEDCBAFEDCBA2∴△AED≌△BFC（SAS）四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件例1：如图5，△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：△ACD≌△BCE。证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE（即∠BCE=∠ACD）在△ACD和△BCE中，∵AC=BC∠BCE=∠ACDCD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件例1已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝ACAD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE．求证：△ABC≌△DCB．证明：∵∠A=∠DAE=DE∠AEB=∠DEC（对顶角）∴△AED≌△ACD（ASA）∴EC=EB∴EC+AE=EB+DE（即AC=DB）在Rt△ABC和Rt△DCB中∵∠A=∠D=90°AC=DBBC=BC（公共边）∴△ABC≌△DCB(HL)七是中点等分线段对应相等是第三个条件例1，如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，求证：△AED≌△EBC．证明：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED第5图ABCDEOEDCBA3∵DE＝DE，DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC八是其他情形对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共角相等是第三个条件例1．如图，CA⊥BF于A，BE⊥CF于E，若AC=BE求证：△AFC≌△EFB证明：∵CA⊥BFBE⊥CF∴∠CAF=∠BEF=90°在△AFC和△EFB中∵∠CAF=∠BEF∠F=∠F（公共角）AC=BE∴△AFC≌△EFB（AAS）二是对顶角相等是第三个条件例1如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，∠CFM=∠EBE=CF。求证：△BEM≌△CFM证明：∵∠CFM=∠E∠CMF=∠BME（对顶角）BE=CF∴△BEM≌△CFM（AAS）三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件例1.已知：∠1=∠2，EF//AB，∠B=∠ACDCD=DE求证：△EFD≌△DAC证明∵EF//AB∴∠1=∠EFD∠B=∠FED∵∠1=∠2∠B=∠ACD∴∠EFD=∠2∠FED=∠ACD在△EFD和△DAC中∵∠EFD=∠2∠FED=∠ACDCD=DE∴△EFD≌△DAC四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件例1．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEBACDF21EMFECBA4证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE例2．在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．（2）略五是垂直相交的角是90°是第三个条件例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．求证：MB=MD，ME=MF（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．在Rt△DEM和Rt△BFM中5∵∠DME=∠BMF∠DEC=∠BFADE=BF∴RtCBFM（AAS）∴MB=MD，ME=MF（2）略六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACD证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，∵∠1=∠2AD=AD∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（ASA）七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件例1．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：△ABF≌△AEC；证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△DCB证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB）在△AOB和△DOC中∵∠ABC=∠DCBBC=BC∠4=∠3∴△ABC≌△DCB九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件例1：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：△CFD≌△BED．证明：作CG⊥AB,交AD于H,则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45ºCD=DB∴△CFD≌△BED十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件AEBMCF.3421DCBA6十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件例1．AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中∵AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中∵BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件例1．如图，已知在△ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：延长AB至D，使BD＝BP，连DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°从而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP（ASA）故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。求证△CDE≌△ADF证明：连接D，D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDADE≌△ADF（ASA）十三其他情形无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。