全等三角形难题集

1倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BFABCDEF分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFFEDABC提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形3、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.DCBA4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是()A、1AB29B、4AB24C、5AB19D、9AB195、已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，求证：AE=21ACABCDE6、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA7、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCDE提示：倍长AE至F，连结DF证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）8、如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.⑴求证：BG=CF⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。24321DEABCADBCE9、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求证：EFCFBE第14题图DFCBEA方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H，连结CH、FH证明FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边10、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.EDFCBA11、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC第1题图ABFDEC方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH截长补短7.9作业：已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.证明：在CD上截取CF=BC在△FCE与△BCE中，CECEBCEFCECBCF∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，43DEDEADEFDE∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.ADBCEF12343FDCBA12EDCBA122、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,ADADEB21∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）AB上截取AF=AC，在△AFD与△ACD中,ADADACAF21∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数DCBA4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODOEDCBA5、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．6、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPPQCBA7、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PCP21DCBADCBA12DOECBA4图十一4321PABC8、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求证：∠BAD+∠C=180°DCBA2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？3、如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.4、如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.7.5作业：已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。求证：∠ADC＋∠B＝180°。图九21CBAD7.6作业：如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线7.6作业：如图,∠B=∠C=90°,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC求证:点M为BC的中点DBEACABCDNEBMAD5连接法（构造全等三角形）7.9作业：已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。1、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．AODCB2、已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．AFDCBE3、如图11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.求证：AF⊥CD.FEDCBA4、在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.5、如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM=CN6、如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．ADCB全等+角平分线性质1、如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC2、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．PDACBMNACNEMBDDBCcAFEDECBA6全等+等腰性质1、如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.2、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD．两次全等7.4作业：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CFFDCBA1、如图，D、E、F、B在一条直线上AB=CD,∠B=∠D，BF=DE.求证：（1）AE=CF;（2）AE∥CF（3）∠AFE=∠CEF2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求证：△ACF≌△BDEABCEFD3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．654321EDCBA4、已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF求证：AC与BD互相平分由BF＝DF，得BE＝DF∴△ABE≌△CDF，∴∠B＝∠D再证△AOB≌△COD，得OA＝OC，OB＝OD即AC、BD互相平分5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FGAFCBDEGADFECBOCEBDAABEOFDC7直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．证明如下：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD与△CBE中，∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）．2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE证△ABE≌△BCF，得BE＝CF，AE＝BF，∴EF＝BE－BF＝CF－AE3、在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.4、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。FBCAMNE1234作平行线1、已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．AFCGBE2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=21BE15432EFBDCAABCFDE8证明：过点D作DF∥AB交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．∴∠2=∠3，∴DF=BF．∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠4=∠C，CD=DF．∴CD=EF=BF，即CD=21BE．延长角平分线的垂线段1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．AFDCBE分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．证明：延长CE交AB于点F．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA和△CEA中，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．2、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．FEDCBA3、如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BD=2ECBCAED4、已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=21AE．CEBAD面积法例1如图1，在△ABC中，∠BA