高中数学经典易错题会诊与试题预测02

第1页高中数学经典易错题会诊与试题预测(二)考点-2函数(1)函数的定义域和值域函数单调性的应用函数的奇偶性和周期性的应用反函数的概念和性质的应用借助函数单调性求函数最值或证明不等式综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题反函数与函数性质的综合经典易错题会诊命题角度1函数的定义域和值域1．(典型例题)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxf且当且当且当)()()()((1)若函数f(x)=11x,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．[考场错解](1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为R.∴h(x)=)1(1)1(11),1()1,(12xxxxxx(2)当x≠1时，h(x)=12xx=x-1+11x+2≥4．或h(x)=11x∈(-∞，0)∪(0，+∞)．∴h(x)的值域为(4，+∞)，当x=1时，h(x)=1．综合，得h(x)的值域为{1}∪[4，+∞]．[专家把脉]以上解答有两处错误：一是当x∈Df但xDg时，应是空集而不是x≠1．二是求h(x)的值域时，由x≠1求h(x)=x-1+11x+2的值域应分x1和x1两种情况的讨论．[对症下药](1)∵f(x)的定义域Df=(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定义域是Dg=(-∞，+∞)．所以，h(x)=.1,1).,1()1,(,12xxxx(2)当x≠1时，h(x)=12xx=1112xx=x-1+11x+2．若x1，则x-10，∴h(x)≥211)1(xx+2=4．第2页当且仅当x=2时等号成立．若x＜1，则x-10．∴h(x)=-[-(x-1)-11x]+2≤-2+2=0．当且仅当x=0时等号成立．当x=1时，h(x)=1．综上，得h(x)的值域为(-∞，0)∪{1}∪[4，+∞]．2．(典型例题)记函数f(x)=132xx的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．[考场错解](1)由2-33xx≥0，得11xx≥0，∴x-1或x≥1，即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0得(x-a-1)(x-2a)0当a=1时，B=Ø．∴BA．当a1时，a+12a，∴B=(2a，a+1),∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1．即a≥21或a≤-2而a≤1，∴21≤a≤1或a≤-2．故当BA时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[21，1].[专家把脉]由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=1时B=Ø，说明函数不存在，因此a=1不适合．[对症下药](1)由2-33xx≥0，得11xx≥0，∴x-1或x≥1．即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0，得(x-a-1)(x-2a)0，当a=1时，B=Ø，∵定义域为非空集合，∴a≠1．当a1时，a+12a，∴B=(2a，a+1)，∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥21或a≤-2．而a1，∴21≤a≤1或a≤-2，故当BA时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪[21，1]．3．(典型例题)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=121的定义域为集合N．求(1)集合M，N；(2)集合M∩N．M∪N.[考场错解](1)由2x-3＞0解得x＞23．∴M={x|x＞23}．由1-12x≥0得x-1≤x-3∴-1≤-3．∴N=Ø．(2)∴M∩N=Ø．M∪N={x|x23}．第3页[专家把脉]求集合N时解不等式1-12x≥0两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不符合不等式性质，应先移项化为)()(xgxf≥0的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不可能为非空集合．∴N=Ø显然是错误的．[对症下药](1)由2x-3＞0，得x＞23．∴M={x|x＞23}．由1-12x≥0得10)1)(3(013xxxxx∴x≥3或x1．∴N={x|x≥3或x1}．(2)∴M∩N={x|x23}∩{x|x≥3或x1}={x|x≥3}．M∪N={x|x23}∪{x|x≥3或x1}={x|x23或x1}．4．(典型例题)若集合M={y|y=2-x}，P={y|y=1x}，则M∩P等于()A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C.{y|y0}D．{y|y≥0}[考场错解]选A或B[专家把脉]错误地认为是求函数y=2-x和y=1x的定义域的交集．实际上是求两函数的值域的交集．[对症下药]∵集合中的代表元素为y，∴两集合表示两函数的值域，又∴M={y|y=2-x}={y|y0}，P={y|y=1x}={y|y≥0}．∴M∩P={y|y＞0}，故选C．专家会诊1.对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．考场思维训练1若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．(0，+∞)B．(0，2)C．(-∞，2)D．(-∞，0)答案：D解析：∵4-a.0,024.2402aRaRxxx上恒成立在的解集为2已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为()A．[-4，1]B．[0,5]C．[-4，1]∪[0，5]D．[-2，3]答案：D解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.3已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围．答案：解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+20对一切实数x恒成立，∴△=（-2m）2-4(m+2)0,解得-1m2.第4页(2)若该函数的值域为R，试求实数m的取值范围．答案：由题设，得不等式△=（-2m）2-4(m+2)≥0解得m≤1或m≥2.4已知函数f(x)=log31822xnxmx的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值．答案：解析：∵f(x)=log31822xnxmx的值域是[0，2].∴u=g(x)=1822xnxmx的值域为[1，9].由u=1822xnxmx得（u-m）x2-8x+(u-n)=0.∵.0))((4)8(,0,2numumuRx时当当u-m=0时上式仍成立，即有u2-(m+n)u+(mn-16)≤0.∴关于u的方程u2-(m+n)u+mn-16=0有两根1和9，由韦达定理得911691mnnm解得m=n=5.即为所求。命题角度2函数单调性的应用1．(典型例题Ⅱ)已知a≥0，且函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．[考场错解]∵f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a]又∵f(x)在[-1，1]上是单调函数，f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立.即ex[x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立．∵ex0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立．即0)1(12)1(2ga或△=4(1-a)2+8a＜0或.0)1(12)1(2ga解得：a∈Ø．故f(x)在[-1，1]上不可能为单调函数．[专家把脉]上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．[对症下药]f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a]∵f(x)在[-1，1]上是单调函数．(1)若f(x)在[-1，1]上是单调递增函数．则f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即ex[x2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵ex0．∴g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立，则有0)1(11ga或△=4(1-a)2+8a＜0或0)1(11ga解得，a∈Ø．(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．∴ex[x2+2(1-a)x-2a]≤0在[-1，1]上恒成立．∵ex0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．则有.43043010)1(0)1(aahh∴当a∈[43，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．2．(典型例题)已知函数f(x)=ax+12xx(a＞1)第5页(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．[考场错解](1)设-1＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=ax2+121211122xxaxxxax2-ax1+12121122xxxx＞0．∴f(x)在(-1，+∞)上是增函数．(2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+1200xx=0．即ax0=1200xx=-1+130x，①∵x0≠-1，∴当-1x00时，0x0+11.013x3，-1+013x2，而a1＜ax01与①矛盾．∴原方程没有负数根．[专家把脉]第(1)问错在用定义证明函数单调性时，没有真正地证明f(x2)f(x1)．而只是象征性地令f(x2)-f(x1)＞0这是许多学生解这类题的一个通病．第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明x0-1时，方程也没有负根．[对症下药](1)设-1x1x2,f(x2)-f(x1)=ax2+121211122xxaxxx=ax2-ax1+12121122xxxx=ax1(ax2-x1-1)+)1)(1()1)(2()2)(1(122121xxxxxx=ax1(ax2-x1)+)1)(1()(31212xxxx.∵x2-x10，又a1，∴ax2-x11．而-1x1x2.∴x1+10，x2+10．∴f(x2)-f(x1)＞0∴f(x)在(-1，+∞)上为增函数．(2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+1200xx=0．即ax0=1)1(3120000xxxx-1+.130x显然x0≠-1，当0＞x0＞-1时，1＞x0+1＞0，013x＞3，-1+013x2．而a1axO1．这是不可能的，即不存在0＞x0-1的解．当x0-1时．x0+1＜0013x0，-1+013x＜-1，而ax00矛盾．即不存在x0-1的解．3．(典型例题)若函数f(x)=l0ga(x3-ax)(a＞0且a≠1)在区间(-21，0)内单调递增，则a的取值范围是()A.[41，1]B.[43，1]C.[49，+∞]D.(1，-49)[考场错解]A当a∈(0，1)时，要使f(x)=loga(x3-ax)在区间(-21，0)上单调递增．∴x3-ax＞0在第6页(-21，0)上恒成立，∴(-21)3+21a≥0a≥41.综合得a∈[41，1].当a1时，x3-ax0在(-21,0)上不可能成立．[专家把脉]上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定义域，这样的答案肯定是错误的．[对症下药]设(x)=x3-ax当0＜a＜1时，依题意,