高考数学选择题技巧

巧解高考数学选择题浙江高考数学试题中选择题分值为40分，占总分的27%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础、考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩。结合高考数学单项选择题的结构特征以及近年高考选择题命题特点是“多考一点想，少考一点算”，灵活选用简单、合理的解法“巧”解选择题，避免繁琐的运算、作图或推理，做到“小题小(巧)做”，避免“小题大(难)做”.否则就是潜在丢分或隐含失分.选择题解法有：1、直接法2、间接法（1）特例法（特殊值法、特殊位置法、特殊函数法、特殊数列法、特殊模型法）、（2）筛选法（去谬法、排除法）、（3）代入验证法、（4）估算法、（5）推理分析法（逻辑分析法、特征分析法）、（6）数形结合法。解题宗旨：灵活运用各种解法，“巧”得结论。例1(2001年全国高考题)过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆方程是（）(A)(x－3)2＋(y＋1)2＝4(B)(x＋3)2＋(y－1)2＝4(C)(x－1)2＋(y－1)2＝4(D)(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解法1：(小题大做)设圆的方程为，根据题意，得，解得，故选(C)．()()xaybr222222222(1)(1)(1)(1)20abrabrababr12，解法2：(小题大做)设圆的方程为＝0，根据题意，得，解得D＝E＝F＝－2，故选(C)．22xyDxEyF20202022DEFDEFDE【评注】解法1、2是利用圆的标准方和一般方程求解，与做一道解答题没任何区别，选择题的特点体现不出来，是“小题大做”．解法3：(小题小做)因圆心在直线x＋y－2＝0上，设圆心为(a，2－a)，又A、B在圆上，由圆的定义，有＝解得a＝1，圆心为(1，1)，排除(A)、(B)、(D)，而选(C)．2213aa2211aa解法4：(小题小做)由选项(B)、(D)的圆心坐标不在直线x＋y－2＝0上，故排除(B)、(D)；又选项(A)的圆不过点，又排除(A)，故选(C)．B()11，【评注】解法3、4对知识的理解程度及选择题的特点已有所理解，由于四个选项的半径相等，只是圆心不同，故只需考虑圆心坐标即可，有解法3；解法4是利用逆推验证法．解法5：(小题巧做)由选项知，只要估算出圆心所在的象限即可．显然圆心应在线段AB的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线x＋y－2＝0上，画草图知，交点（即圆心）在第一象限内，故选(C)．例2、在各项均为正数的等比数列中，若，则（）(A)12(B)10(C)8(D)2＋{}na569aa3132310logloglogaaa35loga解法1(小题难做)从已知条件中求出，q(或说的表达式)，从而逐项求出，，…，，再相加．由于条件中不能唯一确定一个数列，故此法无法办到．na1a31loga32loga310loga569aa解法2(小题大做)由已知，则故原式＝，因而选(B)．【评注】此解法与做一道数列解答题没有任何区别，是典型的“小题大做”．4529561119aaaqaqaq101291045295101210111()3aaaaqaqaq10312103loglog310aaa解法3(小题小做)由已知，故原式＝，因而选(B)．【评注】此解法对等差数列知识的理解有所深化，但仍没有充分利用选择题的结构特点和回答方式上的特点。564738291109aaaaaaaaaa5103563log()log310aa解法4(小题巧做)由结论暗示，不管数列{}的通项公式是什么(有无穷多个)，答案都是唯一的，故只需取一个满足条件的特殊数列＝3，知选(B)．nana从上面两例可以看出，解题是有技巧可言，不同方法技巧的选择，会影响解题的速度.小题巧(小)解能节省大量时间，能在一二分钟内解决问题,甚至是十几秒.如何才能做到此点呢？基于选择题的特点，解选择题有两条重要思路：一是肯定一支，二是否定三支.下面例析如何运用此两条思路，寻找选择题的快速选择技巧。解数学选择题的常用方法：主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.1、直接选择法直接从题设出发，通过推理和准确的运算得出正确的答案再与选择的答案支对照比较，从而判定正确选择支。它一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择。它又可分为两个层次：①直接判定法有些选择题结构简单，常可从题目已知入手，利用定义、定理、性质、公式直接指出正确答案。多用于解答有关基本概念或简单性质辨析的选择题。②求解对照法对于涉及计算或证明的选择题，有时可采用求解对照法。其基本思想是把选择题当作常规题来解，然后与题目选择支相对照，选出正确答案。由因导果，对照结论例1设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于()A．13B．2C.132D.213思维启迪先求f(x)的周期．解析∵f(x＋2)＝13f(x)，∴f(x＋4)＝13f(x＋2)＝1313f(x)＝f(x)．∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13f(1)＝132.C探究提高直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．变式训练1函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为()A．5B．－5C.15D．－15解析由f(x＋2)＝1f(x)，得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5，从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝1f(－1＋2)＝1f(1)＝－15.D例2设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5思维启迪求双曲线的一条渐近线的斜率即ba的值，尽而求离心率．解析设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立y＝kxy＝x2＋1，整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋(ba)2＝5.D探究提高关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．变式训练2已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2解析x2a2－y2b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－bax，即bx＋ay＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d＝|b×a2＋b2|a2＋b2＝b.故选B.B2、特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.多思少算“特殊”判断例4、若0＜＜＜，，，则有（）A、＜B、＞C、＜1D、＞24sincosasincosbaabbabab特殊角法例4、若0＜＜＜，，，则有（）A、＜B、＞C、＜1D、＞2解析：令，，则，∴＜，故选A。4sincosasincosbaabbabab0150302011sin3012a2031sin6012bab特殊角法例5．等差数列{}的前项和为30，前2项和为100，则它的前3项和为（）（A）130（B）170（C）210（D）260mmmna特殊值法例5．等差数列{}的前项和为30，前2项和为100，则它的前3项和为（）（A）130（B）170（C）210（D）260解：取，依题意，，则，又{}是等差数列，进而,故，选（C）.直接法：因为、、也成等差数列,可直接求出,故选C1m2mmSS32mmSS3210S3210mS130a270a12100aa3110anammmnamS特殊值法例6、设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过F的弦，则以AB为直径的圆与左准线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判定_F'_1_F_2_O__x___y__A__B_特殊位置法例6、设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过F的弦，则以AB为直径的圆与左准线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判定分析：题目中没有明确说明过F的弦AB的位置特征，如倾斜角，我们不妨取AB的倾斜角为，即AB重合于长轴，此时，以AB为直径的圆显然与左准线相离，所以选A．_F'_1_F_2_O__x___y__A__B_00特殊位置法例7、正三棱锥的两个侧面所成角为θ，则θ的取值范围是()A、B、C、D、00(60,180)00(0,60)00(60,90)00(0,180)BDAC极限位置法例7、正三棱锥的两个侧面所成角为θ，则θ的取值范围是()A、B、C、D、分析：如图所示，记三棱锥A-BCD，高为AO（O为底面中心），为研究方便，设底面正三角形BCD固定，则影响θ大小的是顶点A的位置．当A无限远离中心O时，侧棱无限接近于垂直底面，两侧面所成的角就无限趋近于∠CBD=．当A无限趋近于中心O时，两侧面无限趋近于同一平面，θ就无限趋近于．所以，θ的取值范围是．选C。060018000(60,180)00(0,60)00(60,90)00(0,180)00(60,180)BDAC极限位置法例8（如图）长轴为的椭圆上有动点P（与、不重合），直线、交右准线于M、N，F是椭圆右焦点，则∠MFN等于（）A．B．C．D．01200900600451A2A12AA2AP1APlPFMN解法一（小题小解）由所给的结论看，∠MFN的大小与椭圆形状无关，也与P点在椭圆上的位置无关，即无论a、b如何变化，无论P点如何运动，∠MFN都是定值．所以我们可以利用特殊值、特殊位置法来解决．不妨取椭圆，取短轴端点（0，2）为P，那么很容易得到M、N的坐标，结合点F，即可算出∠MFN=，所以选C．但这样毕竟还进行了计算．解法二（小题巧解）我们不妨让P点沿椭圆向A2靠近，此时M点沿右准线向下运动，靠近于D点（如图所示），而N向下往无穷远处运动，所以∠MFN应为，所以选C．090090例9、在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=，那么这个球面的面积是（A）；（B）；（C）；（D）a23a2a243a243aFEAGBpDC构造特殊图形法例9、在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=，那么这个球面的面积是（A）；（B）；（C）；（D）解析：四面体PABC可以看作是边长为正方体的一角,则球面是正方体的外接球,球半径,所以球面的面积,故选B。a23a2a243a243aFEAGBpDC3a2234()32Saa构造特殊图形法例10、如图:在棱柱的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为（）A．3∶1B．2∶1C．4∶1D∶13极限位置法运动变化巧用极端例10、如图:在棱柱的侧棱A1A和B1B上各一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为（）A