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巧解分式方程一、裂项法分析方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子．根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1．解原方程可化为∴x2－14x＋48=x2－6x＋8，解之得x=5．经检验x=5是原方程的解．二、局部通分法分析用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果．解局部通分得去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18．故2x=8．∴x=4．经检验知x=4是原方程的解．分式运算中的“七巧”1．巧用公式的基本性质2．巧用逐步通分法分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到(1－x)(1＋x)=1－x2，而(1－x2)(1＋x2)=1－x4，可以用逐步通分法化简．3．巧用运算律例3计算分析可以先用加法交换律整理顺序如下：再用逐步通分法化简．例4化简解原式4．巧用已知条件例5当x2－4x＋1=0时，5．巧用乘法公式例6计算解应用立方和公式原式6．巧变形例7计算分析我们注意一个事实针对本题7．巧换元例8化简通过换元，降低了式子中字母的次数，便于计算．例9计算解把分子括号适当搭配[(a＋1)(a＋4)][(a＋2)(a＋3)]＋1=(a2＋5a＋4)(a2＋5a＋6)＋1．这时若把a2＋5a＋5看作m则a2＋5a＋4=m－1a2＋5a＋6=m＋1=a2＋5a＋5讨论分式问题的四点注意1．讨论分式有无意义时，要注意对原分式进行讨论，不能在约分后再讨论．因为约分后常会使未知数取值范围扩大．由x－3≠0得x≠3．∴当x≠3时，原分式有意义．分析上述解法是错误的，事实上当x=－2时，原分式也没有意义．2．讨论分式的值为零时，不但要使分子的值为零，而且还要注意使分母的值不能为零．错解由x2－1=0，得x=±1．分析当x=1时，分式的分母为零，分式无意义．3．讨论繁分式有无意义时，不能只讨论最后一层分母，而且要注意对每层分母都要讨论．错解由x－1≠0得x≠1．∴当x≠1时，原繁分式有意义．都不为零时，繁分式才有意义．4．讨论分式方程的解时，不但要使各分母的值不能为零，还要注意分子为零的特殊情况．错解方程两边同乘以x－1得．(4－a)(x－1)＝2a，即(4－a)x=4＋a．当a=4时，原方程无解．程．错解只注意对a=4的讨论．而忽视了对a=0的特殊情况的讨论．