最优控制-西安交通大学课件note06

线性连续系统最优控制补充讲义（2004-03-09）3.6可化为规范形式的LQ问题3.6.1具有规定衰减速度（稳定度）的调节器系统稳定条件，极点在左半复平面。衰减速度：系统离虚轴最近的闭环极点与虚轴间的距离，。越大，系统的非零初态响应的衰减速度愈快。若闭环系统的极点都在距离虚轴为的直线左边，则称闭环系统有至少不低于的衰减速度。最优化问题I：0221mindttRututQxtxeJTTtts.tButAxtx00xx式中，R正定，Q半正定，为正常量，（A,B）为能控对，（A,D）为能观对，TDDQ令，txetxttuetut则有uBexeIAxeBuAxexexextttttt转化为最优化问题II：ReIm021mindttuRtutxQtxJTTuts.000xxxuBxIAx可以证明：[A,B]完全能控BIA,完全能控。[A,D]完全能观DIA,完全能观。则，最优化问题II有唯一解：txKtu其中PBRKT101QPBBRPPIAIAPTT又由于txKtxeKueutt所以，两个最优控制问题的反馈增益阵是相同的，又由于最优控制问题II的闭环系统xBKIAx渐近稳定，即0limlimtxetxttt所以，tx也是渐近稳定的，且其衰减速度不低于te。即闭环系统xBKAx的极点均落在复平面-直线的左边。注意，这时并不能保证衰减速度恰好是，且大于多少也不能保证。可以由小到大改变，通过试验的方法找到合适的值，保证有规定的衰减率。3.6.2具有非零设定点的调节器线性定常系统CxyBuAxx过去讨论的都是稳态（平衡态）为零状态的问题。设给定点为ysp，稳态时各量应满足dddspBuAxCxy0其中，ud,xd为希望的稳态时控制和希望的状态。取指标函数dtutuRutuytyQytyJdTdspTspu021min令dspdututuytytyxtxtx~~~则xCyuBxAx~~~~~最优控制问题转化为dttuRtutyQtyJTTu0~~~~~21mints.xCyuBxAx~~~~~dxxx00~这是一个规范化输出调节器问题。解得：txKtu~~PBRKT101QCCPBPBRPAPATTT则dddutKxKxutKxtu其中第一项由最优化问题解得：cxyBuAxxtsdtRuuQyyJTT..21min0（不考虑非零设定值）确定du：代入状态方程duBxBKAx由于系统渐进稳定0limtxtdduBxBKA0由于(A-BK)的特征值都在左半复平面，(A-BK)非奇异。则dduBBKAx1dspuBBKACy1(这是一个线性方程组，需讨论其有解、无解、有无穷解的条件。)当mr，控制维数=输出维数时，有如下定理。定理：已知线性定常系统其中y和u具有相同的维数，对于任何渐近稳定的定常控制律：dutKxtu令sW0是开环传递函数阵BAsICsW10sWc是闭环传递函数阵BBKAsICsWc1当且仅当，sW0的“分子多项式”没有0s的零点，则sWc是非奇异矩CxyBuAxx阵，若选spcdyWu0可保证稳态时spyy，从而实现非零给定点调节。例：（解书p389）受控系统：CxyBuAxx其中63.434300100001000010A3254000B0001C取0000000000000001CCQT510rR解最优控制LQR得01473.03160.0736.524.30K得Kxu——对零设定点对非零设定点：spcyWKxu01而01cWaBuAxxC+-Kxyuysp98400186653.137156.5232542341ssssBBKAsICsWc24.3019840032540cW24.3001cW3.6.3跟踪问题要求系统输出尽量接近所希望的轨线，并使规定的性能指标泛函为最小。线性系统CxyBuAxx00xx设预期的轨线：txCtytxAtx求最优控制u，使021mindttRututytyQtytyJTTu令txtxtxˆAAA00ˆ0ˆBBCQCQCCCQCQCCQTTTTˆRRˆ则，最优控制问题转化为：0ˆˆˆ21mindtRuuxQxJTTuts.uBxAxˆˆˆˆ（有局限性，预期轨线渐进稳定。）可解得xKxKxPBRxPBRxPBRuTTT212111111ˆˆˆ由推导，易知K1为给出调节器问题BuAxxtsdtRuuQyyJTT..min0的反馈增益阵K。当x不可测时，由状态观测器得到。BuAxxCK2xyK1xAxu*--BuAxxCK1xyxAxK2u--3.6.4限制输入信号的变化速率021mindttuStutRututQxtxJTTTuts.BuAxx00xx在控制输入前引入一个积分环节，构成一个增广系统010xxuuBuAxx0u给定记uxx1001BAAIB01则，系统11111uBxAxRQQ1SR1性能指标转化为：01111121dtuRuQxxJTT当11,BA完全能控，对任意满足111QDDT的1D，11,DA完全能观时，最优问题有定常解11111xPBRuT记22211211PPPPPBuAxxx∫uuQPSPPAAPTT21121111102112211210PSPPBAPTRPSPPBBPT2212221210最优控制u满足uKxKuPsxPsuxPPPPIsxPBRuuTT2122121122211211111111000uuBuAxxK2xK1∫u增广系统控制器--uBuAxxK1xK2∫--动态控制器可以证明（1）BA,完全能控11,BA完全能控（2）对任意满足QDDT1111的矩阵，11,DA完全能观测对满足111QDDT的1D，1,DA完全能观测。3.6.5补偿扰动的影响补偿缓变扰动的影响，亦称为无差调节器。系统CxyBuAxx00xx其中y为被控制变量，考虑u与y维数相同以yz定义一个新的状态CxzBuAxx定义二次型性能指标02121dtRuuzQzyQyJTTT其中zQzT2体现被控制量响应曲线下的面积尽可能小。转化为如下最优控制问题：01121dtRuuQxxJTTts.uBxAx1111zxx1001CAA01BB2100QCQCQT在适当的能控性、能观性条件下，可得zKxKKxu211且闭环系统zxCBKBKAzx021是渐近稳定的。由于（常值）扰动不改变闭环系统的渐近稳定性。因此，在扰动作用下，仍有0limlim1ttttzxx由yz则0y，无稳态误差。此称作PI最优反馈系统。u-BuAxxK1xK2C∫∫yz--3.7最优调节器的频率公式与性质线性定常调节器不仅能使控制系统在二次型性能指标意义下达到最优，同时还保证了闭环系统的渐近稳定性，这一点具有重要的工程意义。关心的问题：稳定裕量、快速性、对参数变化的灵敏度、对非线性介入的容许限度以及稳态特性等。回顾一下渐近稳定的定常调节器问题。线性定常系统tButAxtx00xx二次型性能指标：021tTTdtRuuQxxJ其中，A，B，R和Q都是具有适当维数的定常矩阵，[A,B]完全能控，RT=R0，QT=Q0，且对于任一使Q=DDT成立的矩阵D，[A,D]完全能观测。最优控制律为：tKxtu反馈增益阵：PBRKT1其中P是Riccati矩阵代数方程：01QPBPBRPAPATT的唯一正定解矩阵。闭环系统txBKAtx大范围渐近稳定。3.7.1频域公式在考查闭环稳定性时，如下两个方框图是系价的。则系统前向通道传递函数BAsIK1下面讨论与此有关的关系式由Riccati方程：01QPBPBRPAPATT加减PsI：QPBPBRPAsIAsIPTT1由PBRKT1，1PBRKT得：QRKKPAsIAsIPTT左乘121TTAsIBR，右乘211BRAsI2111212111212112121121BRAsIQAsIBRBRAsIRKKAsIBRBRAsIPBRPBRAsIBRTTTTTTTT两边加I，且KRPBRPBRKTT21211,则21112121121211212112121121BRAsIQAsIBRIBRAsIKRRKAsIBRBRAsIKRRKAsIBRITTTTTTTT2111212112121121BRAsIQAsIBRIBRAsIKRIBRAsIKRITTTBuAxxKu*x-BuAxxKu*x-称为最优反馈系统的频率公式。取js2111212112121121BRAIjQAIjBRIBRAijKRIBRAIjKRITTT21R是正定阵R的平方根阵，也是非奇异对称阵右侧211211BRAIjQBRAIjIT右边一项，由于Q半正定，即0Q。所以,IBRAIjKRIBRAIjKRIT2112121121称作最优性频域条件（必要条件）。对单输入情况，不失一般性可取R=1，B=b为向量则：bAsIQAsIbbAsIKbAsIKTTT1111111211121111bAIjDbAIjQAIjbbAIjKTTT