最优控制复习题

最优控制理论与系统课后习题解答December27,2013第二章习题习题2-5x(0)=1，x(1)=2，求x(t)使J=Ztft0(1+_x2)dt取极值解：两端固定无约束泛函极值问题，应用欧拉方程。@L@xddt@@_x=ddt2_x=2x=0_x=c1;x=c1t+c2代入终端条件x(0)=1)c2=1x(1)=2)c1+1=2)c1=1则极值轨迹x(t)=t+1课后习题解答最优控制理论与系统December27,20132/33第二章习题习题2-6x(1)=4，x(tf)=4，tf自由且tf1。求x(t)使J=Ztf1[2x(t)+12_x2(t)]dt取极小值解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问题，F=2x(t)+12_x2(t)，x(tf)=c(tf)=4。由欧拉方程@L@xddt@@_x=2ddt_x(t)=2x(t)=0_x(t)=2t+c1;x(t)=t2+c1t+c2由x(1)=4得1+c1+c2=4)c1+c2=3(A-1)由x(tf)=4得t2f+c1tf+c2=4(A-2)课后习题解答最优控制理论与系统December27,20133/33第二章习题由起点固定，末端受约束的横截条件L+(_c_x)T@L@_xtf=2x12_x2=0(A-3)(A-1)代入(A-2)，t2f+c1tfc11=0)t2f1+c1(tf1)=0c1=t2f1tf1=(tf+1)(A-4)由(A-3)得：82t2f2c1tf12c21=0(A-5)(A-4)代入(A-5)得82t2f+2(tf+1)tf12(tf+1)2=0课后习题解答最优控制理论与系统December27,20134/33第二章习题化简得t2f2tf15=0解得tf=5;3，因tf1舍去3将tf代入(A-4)c1=6，c1代入(A-1)得c2=9最优极值轨线x(t)=t26t+9(A-6)根据第二个勒让德条件@2L@x2ddt@2L@x@_x=0;@2L@_x2=10可知(A-6)的极值轨线使泛函取极小值。且有泛函极值J=Ztf1[4(t26t+9)]dt=43(t3)351=643课后习题解答最优控制理论与系统December27,20135/33第三章习题习题3-3设一阶系统方程_x(t)=u(t);x(0)=1;x(tf)=0试求最优控制u(t)，使性能指标J=2tf+12Ztf0u2(t)dt极小。设tf自由。解：此问题属于定常系统、积分型性能指标，tf自由和末端固定的最优控制问题。性能指标可写为如下形式：J=12Ztf0[4+u2(t)]dt课后习题解答最优控制理论与系统December27,20136/33第三章习题令哈密顿函数H=2+12u2(t)+(t)u(t)=12[u2(t)+2(t)u(t)+2(t)2(t)+4]=12f[u(t)+(t)]22(t)+4g:使H取极小的最优控制U(t)=(t)。由协态方程_(t)=@H@x=0)(t)=c1:由状态方程_x(t)=u(t)=c1)x(t)=tc1+c2:因为x(0)=1，故c2=1。x(t)=1tc1)x(tf)=1tfc1=0)tf=1c1:课后习题解答最优控制理论与系统December27,20137/33第三章习题因为H(tf)=0=2+12c21c21)c1=2;c1=2与tf=1c1不符，所以c1=2。所以有最优控制u(t)=2;最优状态x(t)=12t;tf=0:5;以及J=2:课后习题解答最优控制理论与系统December27,20138/33第三章习题习题3-8设一阶系统_x(t)=u(t)x(t);x(0)=2控制约束为u(t)1。试确定最优控制u(t)，使性能指标J=Z10[2x(t)u(t)]dt为极小值。解：本题为定常系统，积分型性能指标，tf固定，x(tf)自由的最优控制问题。取哈密顿函数H=L+f=2x(t)u(t)+(t)[u(t)x(t)]=[(t)1]u(t)+[2(t)]x(t)课后习题解答最优控制理论与系统December27,20139/33第三章习题因此有u(t)=8:1;(t)10不确定;(t)1=01;(t)10:由协态方程_(t)=@H@x=2(t)解得(t)=cet+2由tf固定、末端自由的边界条件有(tf)=(1)=ce+2=0)c=2e因此有(t)=2et1+2课后习题解答最优控制理论与系统December27,201310/33第三章习题由(t)1=0=12et1，解得t0:3069因此有u(t)=8:1;t0:3069不确定;t=0:30691;t0:3069:课后习题解答最优控制理论与系统December27,201311/33第四章习题习题4-1设拟建设的天然气管道如下图所示，图中A，B，C，


，L表示压缩机站，各线段上的箭头表示确定的天然气流动方向，线段上的数字则表示各管段的流通能力。试求该网络从起点A到终点L的最大流通能力及相应的最优路径。ABCDEFGHIJKL34253222134245231243图图图A-1:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201312/33第四章习题解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。ABCDEFG(5)HI(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-2:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201313/33第四章习题对于站点H，有两条决策路径，代价相等，因此两条路径均为最优路径。ABCDEFG(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-3:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201314/33第四章习题对于站点E，最佳决策代价为9，站点F两条路径代价相等，均为10。ABCDE(9)F(10)G(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-4:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201315/33第四章习题站点D的最佳路径为最下方的一条，代价为13。ABCD(13)E(9)F(10)G(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-5:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201316/33第四章习题站点B的最佳路径为下方的一条，其代价为16；站点C的最佳路径较上方的一条，其代价为15。AB(16)C(15)D(13)E(9)F(10)G(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-6:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201317/33第四章习题站点A的最上方和最下方路径代价相同，为19。A(19)B(16)C(15)D(13)E(9)F(10)G(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-7:天然气管道网络课后习题解答最优控制理论与系统December27,201318/33第四章习题至此，各站点最佳路径及其代价已经得到，删去无法到达的路径E-G，最佳路径如下：A(19)B(16)C(15)D(13)E(9)F(10)G(5)H(6)I(5)J(4)K(3)L34253222134245231243图图图A-8:天然气管道网络共有6中不同的路径组合：ABDFHJLABDFHKLABDFIKLACDFHJLACDFHKLACDFIKL课后习题解答最优控制理论与系统December27,201319/33第四章习题习题4-3设离散系统方程x(k+1)=x(k)+u(k)性能指标J=3Xk=0[x3(k)+u(k)x(k)+u2(k)x(k)]0式中u(k)限取+1或1。要求末端状态为x(4)=2。试求最优控制u(k)和最优轨线x(k)，k=0;1;2;3。解：由末端逆向递推，当k=3，有J(3)=x3(3)+u(3)x(3)+u2(3)x(3)=(3;u=127;u=1因此u(3)=1;x(3)=1;J(3)=3课后习题解答最优控制理论与系统December27,201320/33第四章习题当k=2，有x(3)=1，且J(2)=x3(2)+u(2)x(2)+u2(2)x(2)=(0;u=18;u=1因此u(2)=1;x(2)=0;J(2)=0当k=1，有x(2)=0，且J(1)=x3(1)+u(1)x(1)+u2(1)x(1)=(3;u=11;u=1因此u(1)=1;x(1)=1;J(1)=3课后习题解答最优控制理论与系统December27,201321/33第四章习题当k=0，有x(0)=1，且J(0)=x3(0)+u(0)x(0)+u2(0)x(0)=(12;u=10;u=1由于u(0)=1使得J(0)=12，进而有J0，因此u(0)=1;x(0)=0;J(0)=0综上，最优控制为u=1;1;1;1最优轨线为x=0;1;0;1性能指标为J=3Xk=0J(k)=0课后习题解答最优控制理论与系统December27,201322/33第五章习题习题5-5给定一阶系统_x(t)=u(t);x(1)=3性能指标J=x2(5)+Z5112u2(t)dt试求最优控制u(t)和最优性能指标J。解：依题意可知A=0，B=1，F=2，Q=0，R=1。黎卡提方程及其边界条件可写为：_P=PA+ATPPBR1BTP+Q=P2P(tf)=F=2课后习题解答最优控制理论与系统December27,201323/33第五章习题解得P(t)=15:5t最优控制u(t)=R1BP(t)x(t)=15:5tx(t)最优性能指标为J=12P(t0)x2(t0)=1最优轨线x(t)=13(112t)课后习题解答最优控制理论与系统December27,201324/33第五章习题习题5-6已知一阶系统状态方程_x(t)=12x(t)+u(t)当t0=0，_x(t0)=2；当tf=1时，x(tf)自由。性能指标J=5x2(1)+12Z10[2x2(t)+u2(t)]dt试求最优控制u(t)和最优轨线x(t)。解：依题意可知A=12，B=1，P=10，Q=2，R=1。黎卡提方程及边界条件为_K=KA+ATKKBR1BTK+Q=KK2+2K(tf)=P=10课后习题解答最优控制理论与系统December27,201325/33第五章习题令K(t)=dv(t)dtv(t);则有dK(t)dt=dv(t)dt2v(t)2d2v(t)dt2v(t):因此dv(t)dt2v(t)2d2v(t)dt2v(t)=dv(t)dt2v(t)2dv(t)dtv(t)2;两边减去dv(t)dt2v(t)2并乘上v(t)并移项，得d2v(t)dt2dv(t)dt2v(t)=0:课后习题解答最优控制理论与系统December27,201326/33第五章习题设方程解与et成比例，将v(t)=et代入得d2dt2(et)ddt(et)2et=0:消去微分号得2etet2et=0:由于对于有限的，et6=0，因此有22=0:对于根=1有通解v1(t)