最佳促销模型--浙江师范大学“同梦杯”第十一届数学建模校赛A题

最佳促销策略魅魅魅力力力数数数模模模美美美丽丽丽师师师大大大浙江师范大学“同梦杯”第十一届数学建模竞赛自信创新合作快乐AB论文题目最佳促销策略编号19评分监制：浙江师范大学数学建模研究会（2012年5月10日）最佳促销策略1最佳促销策略摘要随着中国市场经济的建立,消费已从供给约束型转向市场约束型，激烈的市场竞争也给经营者带来了极大的压力，为了赢得更多的市场份额，商家纷纷采取了各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高的商业利益。本文针对这一情况,根据顾客流量、商业规模、消费水平等影响因素对商业利润的作用情况,研究促销手段与商业利润的关系。本文根据顾客流量与购买者数量之间存在的正相关性，即顾客流量的增大，会直接增加商品潜在购买者数量，从而引进销售价格、销售量作为中间变量，建立随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型，并运用常数变异法与换元公式将模型进一步优化，得到顾客流量与商业利润之间非线性符合函数模型，并根据模型简述商业利润所取得的极值。在解决了顾客流量与商业利润关系的基础上，构建商业最大利润模型，在边际成本与边际产值相等的情况下可取得最大利润，并以此为基础讨论最优促销方案。运用层次分析法构建促销效果评估模型，收集数据，确定系数，运用MATLAB软件推算促销手段的促销效果得分，筛选出得分最高的两种促销方式——打折、返券。通过销量、销价与成本的内在联系构建函数模型，换元求导，着重比较打折、返券这两种促销手段。通过模型构建分析可得到当销售商品薄利时返券优于打折，此外同时运用打折与返券的组合促销模型，即可提升短期收益又具有长远发展。针对第三个问题，本文采用MNL模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择。经过模型的建立、检验及结果分析，得到顾客的最佳选择。最后，本文根据建立的模型与结果分析，得出了经营者的最佳销售策略为产生短期效益的打折与长期效益良好的返券相结合的促销方式，从而产生可观的销售量与利润。而顾客的最佳消费策略则为买即送的促销方式。本文通过建立不同的数学模型，对模型结果进行评估，这对商家和顾客针对不同促销方式的最佳选择具有指导性意义。若模型得到推广，将会进一步促进消费，带动经济的发展。关键字：促销策略，常数变异法，MNL模型，层次分析，最佳选择最佳促销策略2目录问题重述………………………………………………………………..3模型假设………………………………………………………………..3符号说明………………………………………………………………..4模型建立…………………………………………………………….….5问题一………………………………………………………….….5基于随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型…………….…..5基于随单价变动销售量呈非线性关系的函数模型……………….….6问题二………………………………………………………….….8最大利润模型………………………………………………….….8促销手段评价模型………………………………………………...8问题三……………………………………………………………14基于MNL的消费者选择模型………………………………….……14模型的估计………………………………………….……………15模型检验………………….……………………………………...16模型结果结果…………….……………………………………....17模型结果结果分析…………….………………………………….17问题四…………………………………………………………....17模型优缺点……………………………………………………………18参考文献………………………………………………………………19最佳促销策略3问题重述随着我国经济的发展和市场经济体制的确立，供求关系发生了很大变化。目前，我国已经结束了短缺经济，进入了买方市场，消费已从供给约束型转向市场约束型。巨大的市场竞争带给了经营者极大的压力，为了在现在的市场得到更多的份额，商家纷纷采取了各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高商业利益。商家如果能制定出合适的促销方案，可以吸引更多的顾客光临，从而达到增加销售额，提高经济效益的目的；如果促销策略不当，可能会适得其反。与此同时还要考虑到顾客选择商场具有一定的随机性，需要合适的模型来预期这些促销策略带给企业的效益。1.在市场约束型的大前提下，影响商业客流的因素，并探索吸引商业客流的途径就显得日益重要，本文将通过建立数学函数模型，来解决顾客流量与商业利润的关系这一问题。2.收集整理现有的主要商业促销手段。本文将建立促销手段与商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等因素的关系模型，在商业利益最大化的前提下，给出最佳促销手段。3.消费者面对众多的促销手段，眼花缭乱，请建立模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择。4.整合以上模型进行报告，阐明经营者的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。条件假设1.在一定的价格变动范围内，价格上升将导致商品销售量减少；价格下降将导致商品销售量增加。2.顾客流量与购买者数量之间存在正相关性。3.采取促销手段后，商品均能成功出售，促销效果将影响商品的销售量。4.假设顾客所需商品为两类，一类是高消费品（如家电，家具，首饰等），另一类是低消费品（如食品，日用品等）。5.假设商家只对高消费商品做代金券，而其余促销方式对两类商品均适用。6.由于抽奖中奖率较低，且不能满足顾客需求，不将其列为顾客参与商业促销方式之一。7.顾客对两类商品需求程度是一样的，且购买力与顾客的收入情况和消费情况有直接关系。8.顾客购买商品的周期是不变的，即每隔一定时间去购物一次。最佳促销策略4符号说明a商品销售价格的初始值m商品销售价格的变动值b商品销售量的初始值n商品销售量的变动值k市场弹性系数c单件商品的成本x商品销量的最终值y商业最终利润值f商品价格变动与销售量变动的函数关系g与函数f互为反函数h生产者的产值p生产者的成本r生产者的利润v顾客流量购买量与顾客流量的比例系数促销效果促销效果对商品销售量的影响系数最佳促销策略5模型建立4.1问题一分析：随着经济的飞速发展，市场竞争也逐渐加大，经营者为了在市场上得到更多的份额，纷纷采取各种促销手段，通过增加顾客流量来提升商业利润。根据模型假设，近似认为顾客流量与商品销售量之间存在直接联系，通过引进中间变量价格、销售量，分析顾客流量与商业利润之间的函数关系。由于不同商品销售变动与销售价格变动的函数关系不同，因此，我们采用从特殊到一般，即从线性关系到非线性关系的方式将问题量化，并进行推导解答。4.1.1模型Ⅰ：基于随单价增涨销售量呈线性递减关系的函数模型顾客流量与购买者数量之间存在正相关性，顾客流量的增大，会直接增加商品潜在购买者的数量，潜在购买者数量的增加将导致销售量的增加，根据假设购买者每人购买商品的数量为一件，不妨令顾客流量v与购买量x（即销售量）之间存在一次函数的关系，且比例系数为。xv即满足：销售量比例系数顾客流量设价格为a时，商品的销售量为b，当商品价格变动与销售量成线性函数关系，即价格变动一个单位，销售量变动为k个单位时，即市场弹性系数为k，可得如下销售量的图表：表1：价格与销售量价格am...1aa1a...am销售量bkm...1bkb1bk...bkm根据商业利润（单位售价单位成本）销量将表格中的数据代入经济学方程，得yamcbmk设销售量整体为x，销售量x与价格变动值m的函数关系为xbmk则mbx/k将函数mmx代入经济学方程得到yabx/kcx最佳促销策略6整理后的方程为2yxbacxkk即当商品的价格变销售量成线性函数时，销售量与利润成二次函数关系，且函数曲线开口向下，即商业利润先随销量增加而增加，后随销售量的增加而减少，函数图像如图1所示：图1据图分析，当'=0y即20bxackk时利润最大，在曲线上所对应的坐标为2,|2akckbxakckby由此我们得出，在满足商品价格变动与销售量成线性函数关系时，当顾客销售量x为2bckak，商业利润最大，即当顾客流量)2(bckakv时取得商业利润最大值。4.1.2模型Ⅱ：基于随单价变动销售量呈非线性关系的函数模型同理根据顾客流量与购买者数量之间存在正相关性系数，引进销售量与价格作为中间变量进行研究，当商品价格变动与销售量成非线性关系，即销售量变动值n是随商品价格变动值m变化的函数时，运用“常数变易法”，设)(mfn，其中f为单值连续函数，则销售价格与销售量的对应关系如表2：表2：销售价格与销量价格a-m…a-2a-1aa+1a+2…a+m销售量b+f(-m)…b+f(-2)b+f(-1)bb+f(1)b+f(2)…b+f(m)最佳促销策略7商业利润=(单件售价-单件成本)销售量根据模型Ⅰ得)()(nbcmay(1)将)(mfn带入(1)式，得)]([)(mfbcmay设销售量为x，即)(mfbx，设g与f互为反函数，推出)(bxgm，所以xcbxgay])([将方程进行化简，可得)()(bxgxxcay(2)由于销售量与顾客流量之间满足线性关系xv(3)将(3)式带入(2)式中，可推导出商业利润与顾客流量所满足的函数关系。)()(bvgvvcay由模型Ⅱ，我们可以分析出，当商品价格与销售量呈非线性关系时，商业利润与顾客流量并不满足二次函数关系，因为g是f的反函数，商业利润与顾客流量的函数关系取决于函数g的性质，一定程度上反映为商品价格与销售量的函数关系，不同的商品具有不同的商品价格与销售量的关系。在针对特定商品的分析时只要能够确定商品价格与销售量的函数关系，即可推到出商业利润与顾客流量的函数关系。最佳促销策略84.2问题二分析：在商业利益最大化的前提下，讨论最佳的促销手段。在研究问题前需要明确何为商业利益最大化，并在此基础上针对现有的常见促销方式建立模型，促销方式所产生的促销效果受商业规模、商品属性、经济状况等影响，对此进行分析比较，寻找最优促销手段。4.2.1模型Ⅲ：最大利润模型商业利益最大化即指商业利润最大，根据问题一中模型可知商业利润与售价、成本以及销售量满足如下关系：商业利润=(单件售价-单件成本)销售量由于该式的局限性，因此需对问题一中的利润模型进行优化，根据假设采取促销手段后，商品均能成功出售，可用销售量x近似等价于投入生产的量，产值与成本是关于x的函数，分别记为)(xh与)(xp，则利润)(xr为)()()(xpxhxr根据问题一的模型可知商业利润先随销售量增加而增加，后随销售量增加而减小，固存在利润的极大值也是最大值，可以通过求“导数”即经济学中计算“边际”的方法计算利润的最大值，且0)('xr，可以得到产值与成本的关系为其中)('xh为边际产值，)('xp为边际成本，即当达到边际产值与边际收益相等时可以实现商业最大利润。4.2.2模型Ⅳ：促销手段评价模型通过收集整理现有的主要商业促销手段，可以了解到目前最为通用的促销手段有：打折、返券、抽奖与送礼。不同的促销手段各有其优势与劣势，在满足模型Ⅲ，利润最大即)()(''xpxh的前提下，需要对促销手段选取合适的评价体系，寻找最合适的促销手段。为简化模型，令销售销售价格)(xh量，其中“销售价格”与促销手段有关，“销售量”与促销效果有关，“成本)(xp”也与促销手段有关。为此确定促销手段对促销价格以及成本的影响，促销效果对促销量的影响，可以的到)(xh与)(xp的函数关系，从而进行比较分析。)()(''xpxh最佳促销策略9①销售效果与销售量：通过资料数据收集与整理，确定促销效果主要与以下几个指标有关系：价格变动、顾客满意、市场需求、短期效益、长期效益。运用层次分析法求解不同的促销方案的促销效果，促销效果评估从而确