导数ppt

通过函数及其图像可以讨论两变量之间的变化情况，第三章导数导数只是非线性函数的斜率的一般化表达。如当自变量变化（增加或减少）时，函数的变化情况（增加还是减少），即函数的单调性。们还要进一步讨论自变量与函数的变化的快慢程度。当我们用线性函数的形式来表示两变量之间的关系时，函数变量随自变量变化而变化的快慢程度将表示成函数的“斜率”，这种变化的快慢程度将被表示为函数的“导数”，但很多时候，我图而对更一般的非线性函数来说，一、问题引入()yfx000(,)Mxy计算了抛物线和圆的切线斜在处的切线斜率，()yfx000(,)Mxy求曲线在处的切线斜率。率和方程，并给出更一般的曲线切线斜率公式，它是导数概念的引例3.1上一章我们用微积分方法下面我们用同样的方法来计算一般函数原型.000(,)Mxy0xy()yfx0011(,())nMxfxnn在曲线上取一无限接近000(,)Mxy0011(,())nMxfxnn的点列，连接点得过0,nMM000(,)Mxy0nMM的一割线列nknMM，计算直线的斜率，解：如图，00001()()1()nfxfxnkxxn()yfx00(,)Mxy001()()lim1nfxfxnkn则在处的切线斜率为（若极限存在）。00(,())Mxxfxx000(,)Mxy0xy()yfx000()()limxfxxfxkxx1n上式用变量替代可以得到更一般的切线斜率公式（若极限存在）。(1)0x，再令，0011(,())nMxfxnn()SSt=0tt=0t0tntntnk0[,]nttnk001()()1StStnn+-nnknv0tt=引例2物体直线运动的瞬时速度，求时的瞬时速度。处附近取无限接近的点列（），=，计算时段内的平均速度。当充分大时，内的平均速度无限接近时的速度，已知物体直线运动的路程函数时段解：如图，在t0tnk01nttn=+01tn=+得时段序列nv=（同样将上式中的(0)tD?000()()limtSttStvtD?+D-=D（若极限存在）（2）1n用变量来代替得瞬时速度更一般表达式tD0tt=001()()lim1nStStnvn+-=时的瞬时速度为则（若极限存在），它的数学本质是一样的，xD)tD与自变量的改变量（，当自变量的改变量趋于0时00(()()yfxxfx00()()SSttSt，）yxDDStDD之比（，）上述两个极限（1）和（2），不考虑它们的几何背景和力学背景，的改变量都表示函数的极限。(0,0)xtD瓺?()yfx0xx000()()limxfxxfxx()yfx0xx0()fx0|xxy0|xxdydx0()|xxdfxdx0000()()()limxfxxfxfxx()yfx0xx二、导数的定义在处的某个邻域有定义，存在，在处的导数，记为或，。即并称函数在处可导。定义设函数若极限(3)则称此极限值称为函数0xxx0xxx0xx0()fx()yfx0xx()yfxI()yfxI()yfxI()yfx()yfxI在（3）式中令，有，则得如果极限（3）不存在，在处不可导。在开区间都可导，在开区间内可导。在开区间内每点处的导数称为在内的导函数。，内每点处函数000()()limxxfxfxxx导数的另一表示形式.则称函数如果函数则称函数()yfx0xx0xx()yfx在处可导，在000()()lim()xfxxfxfxx000lim()()0xfxxfx处连续。分析：比较两极限看谁能推出谁？可导一定连续，则函数三、函数可导与连续之间的关系即若函数由第一个可以推出第二个，于是有：（可导）（连续）()yfx0xx000()()lim()xfxxfxfxx000000()()lim()()limxxfxxfxfxxfxxx00000()()limlim()00xxfxxfxxfxx0xx处可导，所以有由连续的定义有函数在处连续。由导数定义知极限成立，()yfx在0()fx()yfx00(,)Mxy()yfx00(,)Mxy000()()()yfxfxxx四、导数在实际应用中意义。表示函数曲线在处的在处的切线方程为()yfx00(,)Mxy00(,)Mxy在处的切线是曲线在处附近的最佳线性（直线）近似。1、导数所以曲线斜率（切线斜率），0xy()yfx000(,)Mxy00(,())Mxxfxx00(,())Mxxfxx在00(,)Mxy两边取无限接近的两点00(,())Mxxfxx00(,()),Mxxfxx用连接两点的直线来近似代替曲线。该直线方程为：0000()()()(())2fxxfxxyfxxxxxxM0x上述直线是曲线附近的最佳近似直线000()()()yfxfxxx000()()lim2xfxxfxxx00000[()()][()()]lim2xfxxfxfxxfxx00000[()()][()()]lim22xfxxfxfxxfxxx000000[()()][(())()]limlim22()xxfxxfxfxxfxxx000()()()22fxfxfx最佳近似直线为即为切线。0()fx()yfx00(,)Mxy()SSt0()St0tt3、导数也表示曲线在陡峭程度或变化率,即函数随自变量变化而变化的是物体运动的表示时路程对时间的变化率。处的若假设快慢程度路程函数，表示路程随时间变化而变化的快慢程度的瞬时速度）。或函数对自变量的变化敏感度.具体的，则即（即运动物体()QQp0()Qp0pp0pp又若是需求函数，则表示当时需求对价格的变化率，时的需求变化对价格变化的敏感（影响）程度.即表示6)2(Q28)3(Q如价格变化（增加或减少）1个单位时，价格变化（增加或减少）1个单位时，表示当价格为2时，需求量变化（减少或增加）6个单位；表示当价格为3时，表需求量变化（减少或增加）28个单位；这时我们知道比价格为2时的价格变化对需求量变化的影响（敏感）价格为3时的价格变化对需求量变化的敏感（影响）程度程度要大.0()fx()yfx0xx00()()fxxfxxxyyxx000()()()fxxfxfxxx4、是函数在处的平均变化率（自变量变化量与函数变化量的比值）的最佳近似（当自变量变化充分小时）。（充分小）即（*）xxx()yhxxx1(10)2h10x12x12x10x30具体到实际应用，充分小可理解为相比自变量的定义域的区间长度很小。是山坡函数，设为1尺，大约相对整个山坡就可理解为充分小。，表示山坡在处的陡峭程度为表示沿山坡移动在水平方向每横移距离（比如一距离（半小步），处的坡度约为例如设一小步，这时的那么，小步），你必能垂直向上移动这时；(30)3h30x3x3x若，表示山坡在处的陡峭程度为，表示沿山坡移动在水平方向每横移一小步，（3小步），这时山坡非常陡。你必能垂直向上移动xq)(qLL)(qCC)(qRRq1q0()Lq00(1)()LqLq在实际应用中，如在一些以产品数量如收益函数，成本函数，利润函数等，自变量（产品数量）的改变量就可以认为是充分小了.所以由式有充分小可根据实际情况而定,为自变量的经济函数中，（*）)()1()(000qCqCqC)()1()(000qRqRqR,（3.7）0(),Lq)(0qC0(),Rq0qq01q即（近似）表示当产量再生产一个产品所引起的总收益（利润，成本）增加量，个产品所获得的收益（利润，成本）.时，或生产第这就是后面我们要讲的边际收益（利润，成本）.换句话说，0(),Lq)(0qC0(),Rq0qq即（近似）表示时，当产量额外再生产一个产品所引起的总收益（利润，成本）增加值.(5000)21R5000q5001(10000)19R1000q10001500q1000q500q1000q（元）表示当产量再生产一个产品的总收益增加21元或生产第个产品的收益为21元；（元）表示当产量时，再生产一个产品的总收益增加19元或生产第个产品的收益为19元。可以说产量时的收益率比产量时高或产量时的生产效率比产量时更高。具体的，时，21()(4000050000000)1000Lqqq(10000),L(13577)L1()(240000)1000Lqq(10000)20,L(13577)12.87L例3.1设某产品的收益函数为解：生产第10001个产品和第13578个产品的利润.又所以元，即生产第10001个产品的利润增加值为20元，求生产第10001个产品和第13578个产品的利润增加值.增加值分别（近似）为生产第13578个产品的利润增加值12.87元.这说明了：()fxCC()fx§3.2导数的计算和求导法则(为常数)的导数。即常数的导数为0.例1求常函数=0。一、用定义计算导数给出基本初等函数的导数；解决初等函数的导数计算问题，首先讨论用导数的定义计算导数。在这里我们要讨论导数的计算问题；解：由导数的定义有：0()()limxfxxfxx0limxCCx02()fxx()fx202()limxxxxx2()2xx例2求函数的导数。即。0()()limxfxxfxx20()limxxxxx0lim(2)2xxxx()fxx0()()()limxfxxfxfxx0()()lim()xxxxxxxxxxx0lim()xxxxxx1()2xx例3求函数的导数。。。即0limxxxxx12xxxfsin)(00()()sin()sin()limlimxxfxxfxxxxfxxx0sincos()cossin()sinlimxxxxxxx0sincos()sinsin()lim(cos)xxxxxxxx0cos()1sin()lim(sincos)xxxxxxx00cos()1sin()sinlimcoslimxxxxxxxx(sin)cosxx(cos)sinxx例4求函数的导数即，同理可得。解：0cos()1limxxx0sin()limxxxcosx00log()log()()()limlimaaxxxxxfxxfxfxxx0log()limaxxxxx1[(1)]0limlogxxxxxax1(log)lnxaxa(ln)x解：即特别有例5、求对数函数1()0limlogxxxxax1(1)0limlogxxxax1logxea的导数()logxafx1lnxa1logeax1x下面我们介绍导数的四则运算法则和复合函数求导法则，)(xuu)(xvv)]()([xvxu)()(])()([xvxuxvxu定理3.1(四则运算法则)设函数，都是可导函数，则：可导，且二、导数的四则运算法则这些法则能更好地帮助我们计算导数。（1）代数和)()(xvxu[()()]uxvxC)(])([xuCxCu