3.3.3函数的最大(小)值与导数

yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0左正右负为极大值左负右正为极小值旧知回顾极值的判定左右同号无极值求函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；f(x0)=0x0是函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件结论在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。知识回顾一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1．最大值:（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值并且在端点或极值点取得。所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值探究一（闭区间上的最值问题）x3xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.探究二（开区间上的最值问题）如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。例如函数y=f(x)图象如下：解:24yx=当变化时,的变化情况如下表:,yy例1、求函数在区间上的最大值与最小值。31443yxx=[0,3]令,解得0y=22或xx==x又由于(0)4,(3)1ff==（舍去）2－＋0(0,2)(2,3)x()fx()fx03↗↘43极小值41函数在区间上最大值为,最小值为43[0,3]4类型一：求函数的最值求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.总结练习1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值。解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5/0/-+3112故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2．)(xf)(xf练习2、求函数f(x)=lnx-x在区间(0，e]的最值。3、求函数在[-1，2]上的最大值与最小值.3()fxxx=2()310.fxx=/解因此函数在[-1，2]上的最大值为10，最小值为-2.3()fxxx=(1)2,(2)10.ff==f(x)在[-1，2]上是增函数.例2:若函数的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.326012()(),[,]fxaxaxbax=解:令得x=0或x=4（舍去）.23120()fxaxax==当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xfx-1(-1,0)0(0,2)2f’(x)+0-f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.又f(-1)-f(2)=9a0,所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.类型二：由函数的最值求参数的值已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值。变式：（练习册P63例2）•[解析]•显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.•令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．•(1)当a0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)b•所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.•又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)f(2)，•所以当x＝2时，f(x)取最小值，•即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.•(2)当a0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：•所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.•又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，•f(2)f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值，•即－16a－29＝3，所以a＝－2.•综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)b类型三：利用最值解决恒成立问题32232338121203===(),,,,(),fxxaxbxcxxabxfxcc例、设函数在处取得极值。（）求的值。（）若对于任意的都有成立求的取值范围。2()fxc变式：（2）中条件改为“恒成立”minmax()()()()fxafxafxafxa恒成立恒成立变式：的取值范围。恒成立，求实数对）若（；的最小值）求（，设函数mtmtththxftRxtxttxxf)2,0(2)(2)()(1)0(12)(22=（练习册P64例3）类型四：证明不等式证明：),0(sinxxx，一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数求函数最值的一般方法小结：作业：1、P996（1）（4）练习册：P64基础1,6,72、练习册：P64基础4，P65能力74、练习册：P64基础9能力23.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a，b，c∈R)（1）若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，6]时，f(x)2c恒成立，求c的取值范围。