高中二次函数复习

1高中二次函数专题复习一.【课前热身】1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是()（A）[1,+∞)，（B）(-∞,-1)(C)[-1,+∞)，(D)以上都不对2、画出函数f(x)=∣x2-2x-3∣的图像。3、已知一个二次函数的顶点的坐标为（0，4），且过点（1，5），这个二次函数的解析式为4、二次函数y=x2-5x+6的零点是5、已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为。二.【知识方法】1、二次函数的三种表示形式：（1）一般式：)0(2acbxaxy；对称轴是，顶点为；（2）顶点式：2()yaxhk；对称轴是，顶点为；（3）交点式：))((21xxxxay；对称轴是，与x轴的交点为2、二次函数)0(2acbxaxy有如下性质：1）当0a时，抛物线2()(0)fxaxbxca有最值，值域：．单调性：增区间:；减区间：．（2）当0a时，抛物线2()(0)fxaxbxca有最值，值域：．单调性：增区间:；减区间：．3、一元二次方程与二次函数的关系。（1）一元二次方程20axbxc（a≠0）有两个不相等的实数根1x，2x判别式0对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象与x轴有两个交点为1,0x，2,0x对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）有两个不同的零点1x，2x；（2）一元二次方程20axbxc（a≠0）有两个相等的实数根1x=2x判别式0对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象与x轴有唯一的交点为（1x，0）对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）有两个相同零点1x=2x；（3）一元二次方程20axbxc（a≠0）没有实数根判别式0对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象与x轴没有交点对应的二次函数2yaxbxc（a≠0）没有零点．4、二次函数在区间上的最值问题。设02acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：2abnm2nabm2nmab2图象f(x)min=f(x)min=f(x)min=f(x)max=f(x)max=f(x)max=对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．5、一元二次不等式与二次函数的关系根的判别式解集当0a时cbxaxy2的图象20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc对于开口向下的情况，讨论类似．6、一元二次方程根的分布问题：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的两根为x1，x2，且x1x2，3k、p、m、n为常数，则一元二次方程有以下若干定理：两个根都小于k12xxk240()02bacfkbka两个根都大于k12kxx240()02bacfkbka两根都在（m，n）内12mxxn240()0()02bacfmfnbmna一根大于k一根小于k12xkx()0fk一根小于m一根大于n两根都在（m，n）外1xm，2xn()0()0fmfn两根只有一根在（m，n）内()()0fmfn两根在两个不同的区间内m＜x1＜np＜x2＜q()0()0()0()0fmfnfpfq注：零分布是k分布的特殊情形（如下表）．两个正根10x，20x24002(0)0bacbafOyxx2x1两个负根10x，20x24002(0)0bacbafOyxx2x1一根大于零一根小于零10x，20x(0)0fOyxx2x1三.【例题探究】题型1．解析式、待定系数法oyxkx2x1oyxkx2x1oyxkx2x1nmoyxx2x1nmoyxx2x1nmoyxx2x1pqnmoyxx2x14例1：若2fxxbxc，且10f，30f，求1f的值．变式1：若二次函数2fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11abcB．3,12,11abcC．3,6,11abcD．3,12,11abc变式2：若223,[,]fxxbxxbc的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数2fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点1,0Ax、2,0Bx，且2212269xx，试问该二次函数的图像由231fxx的图像向上平移几个单位得到？题型2．图像特征将函数2361fxxx配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数2fxaxbxc，如果12fxfx(其中12xx)，则122xxfA．2baB．baC．cD．244acba变式2：函数2fxxpxq对任意的x均有11fxfx，那么0f、1f、1f的大小关系是A．110fffB．011fffC．101fffD．101fff变式3：已知函数2fxaxbxc的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．题型3．单调性已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx．(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．xyO5变式1：已知函数242fxxax在区间,6内单调递减，则a的取值范围是A．3aB．3aC．3aD．3a变式2：已知函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，那么2f的取值范围是_________．变式3：已知函数2fxxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．题型4．最值求12)(2axxxf在区间]2,0[上的最大值和最小值。变式1：已知函数223fxxx在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．1,B．0,2C．1,2D．,2变式2：若函数234yx的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．变式3：已知函数224422fxxaxaa在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．题型5．恒成立问题当,,abc具有什么关系时，二次函数2fxaxbxc的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．6变式2：已知函数2()3fxxaxa，若2,2x时，有()2fx恒成立，求a的取值范围．题型6．一元二次方程的实根分布问题例、（1）关于x的方程0142)3(22mxmx有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；（2）关于x的方程0142)3(22mxmx有两实根都在)4,0[内，求m的取值范围；（3）关于x的方程0142)3(22mxmx有两实根在3,1外，求m的取值范围（4）关于x的方程0142)3(22mxmmx有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.