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点击进入相应模块3菱形【目标提醒】掌握菱形的性质及其判别，并能利用其解决问题.菱形的性质【例1】如图，在菱形ABCD中，已知∠ADC=120°，AC=(1)求BD的长；(2)求菱形ABCD的周长；(3)求菱形ABCD的面积.【思路点拨】根据菱形的性质得到：Rt△AOD,Rt△COD,Rt△AOB,Rt△COB是四个全等的直角三角形，根据已知条件从中选择一个直角三角形，充分运用直角三角形的有关性质与定理，来解决本题.123cm.【自主解答】(1)四边形ABCD为菱形，且BD平分∠ADC，所以∠ADO=60°,又AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，在Rt△AOD中，∠DAO=30°，所以OD=AD.而OA2+OD2=AD2，因此OD=6cm，AD=12cm，BD=2OD=12cm.(2)由(1)知AD=12cm，所以AB=BC=CD=12cm.因此菱形的周长为4×12=48(cm).121OAAC63cm2，(3)S菱形ABCD=2S△ADC=2×AC×OD=×AC×2DO=AC×BD.所以S菱形ABCD=1212122112312723cm.2【规律总结】因为菱形的对角线互相垂直平分，所以很容易与直角三角形联系起来用到勾股定理，另外本题也证明了菱形的面积的另一种求法：对角线乘积的一半.1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()(A)内角和为360°(B)对角线互相垂直(C)对边平行(D)对角线互相平分【解析】选B.菱形的对角线互相垂直且平分，而平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直.2.若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为()(A)5(B)10(C)20(D)40【解析】选C.因为菱形的对角线互相垂直且平分，由勾股定理可知菱形的边长为5，所以其周长为4×5=20.3.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O，AB=5，AO=4，求BD的长和菱形ABCD的面积.【解析】四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，在Rt△AOB中，AO=4，AB=5，所以AC=8，BD=6.因此ABCD11SACBD8624.22菱形·22BOABAO22543,【点石成金】菱形的对角线互相垂直且平分是求解线段长度的常用方法.该知识点经常与勾股定理共用.菱形的判别方法【例2】已知如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BC于E，交BD于F，∠FAG=∠FAD.连接EG,ED.四边形AGED是菱形吗？请说明理由.【思路点拨】先找条件说明△AFG≌△AFD，△ABF≌△EBF，再由线段的垂直平分线性质说明四边形AGED四边都相等，从而得到其为菱形.【自主解答】在△AFG和△AFD中∴△AFG≌△AFD.∴AD=AG.同理，△ABF≌△EBF,∴AF=FE.又∵AE⊥BD,∴BD是AE的垂直平分线.∴AG=GE,AD=DE.∴AD=AG=GE=DE.∴四边形AGED是菱形.FAGFADAFAF,AFGAFD90,，【规律总结】说明一个四边形是菱形一般来说(1)先说明它是一个平行四边形，然后说明一组邻边相等或说明对角线互相垂直.(2)直接说明四条边相等或对角线垂直且平分.4.如图，可以确定四边形ABCD是一个菱形的条件是()(A)AB=BC，CD=BD(B)∠1=∠2=∠3=∠4(C)AB=CD，AC⊥BD(D)AO=CO，BO=DO，AB=CD【解析】选B.由∠1=∠3，∠2=∠4,可得AD∥BC，AB∥DC，故四边形ABCD是平行四边形，又∠2=∠3，则AB=BC，故四边形ABCD是菱形，而由A、C、D均不能得出四边形ABCD是菱形.5.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE.判断四边形ACEF的形状，并说明理由.【解析】四边形ACEF是菱形.理由如下：DE垂直平分BC，所以BE=CE.又因为∠ACB=90°，∠BAC=60°，所以∠B=∠BCE=30°，∠AEC=60°，因此△ACE为正三角形.∠AEF=∠BED=60°，AF=CE，所以AF=AE=EF，因此AC=CE=EF=AF,即四边形ACEF是菱形.【点石成金】要准确区分、理解菱形的判别方法的使用前提条件是已知平行四边形还是普通四边形.1.在△ABC中，AB≠AC，D是边BC上的一点，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件()(A)AD⊥BC(B)∠BAD=∠CAD(C)BD=DC(D)AD=BD【解析】选B.因为在四边形AEDF中,DE∥CA，DF∥BA,可知该四边形为平行四边形，对角线平分一组对角即可说明四边形AEDF是菱形.2.菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积是()(A)2cm2(B)4cm2(C)(D)8cm2【解析】选D.过钝角顶点作高，因为菱形的锐角为30°，边长为4cm，所以高为2cm，面积为4×2=8(cm2).243cm3.菱形的面积为20cm2，一条对角线的长为5cm，另一条对角线的长为__________.【解析】因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，所以另一条对角线的长为20×2÷5=8(cm).答案：8cm4.ABCD中，AD⊥BD，E,F分别为边AB,CD的中点，连接DE、BF,BD.四边形BFDE是什么特殊的四边形？并说明理由.【解析】四边形BFDE是菱形，理由如下：5.(鞍山中考)如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论.【解析】(1)E,F分别是AD、BD的中点G,H分别是BC,AC的中点四边形EFGH是平行四边形.EFAB1EFABGHEF2GHEFGHAB1GHAB2(2)当四边形ABCD满足AB=DC时，四边形EFGH是菱形.证明：F,G分别是BD、BC的中点