3.圆的切线的性质及判定定理

三、圆的切线的性质及判定定理.Ol5BAOrMl本节专门讨论直线与圆相切的情形.我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的.（1）直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(dr)（2）直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切;(d=r)（3）直线与圆没有公共点，称直线与圆相离.(dr).O相交相切相离l因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：1切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．O.lA如图,点A是⊙O与直线的公共点,且⊥OA.在直线上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△．llllAOB2.而OB是Rt△OAB的斜边，因此，都有OBOA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此是圆的切线．由此可得：l切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件：1.经过半径的外端；2.与半径垂直．应用格式(几何语言):OA是⊙O的半径OA⊥l于Al是⊙O的切线.下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.O.lAO.lAB３．应用：例１如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.例２如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO∴∠CAD＝∠CAO,故AC平分∠DAB．例3作经过一定点C的圆的切线．思考：定点C在圆的什么位置？COO.C(1)点C在圆上．(２)点C在圆外．作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线．BA证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C．作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线．PP′O1证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线.同理，CP′也是所要作的切线.课堂小结：一判定一条直线是圆的切线有三种方法1根据定义直线与圆有唯一的公共点2根据判定定理3，根据圆心到直线的距离等于半径二添辅助线的方法则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，只需证“垂直”,即可得直线与圆相切.CABDO∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°,∴∠BOC＝60°.∴△BOC是等边三角形.∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°.∴∠DCO＝90°.∴DC⊥OC.∴DC是⊙O的切线.练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证：DC是⊙O的切线.证明：连OC、BC，练习3若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径,求证：DC是⊙O的切线.DCAB.O3003001200600600600分析:如图练习4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直线是这个圆的切线.已知：⊙O的圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径r.求证：直线l是⊙O的切线.证明：过点O作OA⊥l，A为垂足.A∵OA＝d=r∴点A在⊙O上∴OA是⊙O的半径∴l是⊙O的切线题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距离等于半径”1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，如图(1)，求证：DE是⊙O的切线.2．如图(2)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.3．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC，求证：PA是⊙O的切线.图1图2图3思考：分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，再证明DE⊥OD.分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证明OH等于直径EF的一半.分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可.