3.1.2用二分法求方程的近似解问题提出1.函数有零点吗?你怎样求其零点?34xx)x(f22.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式,但对于高于4次的方程,类似的努力却一直没有成功.到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式,即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法.知识探究(一):二分法的概念思考1:有12个大小相同的小球,其中有11个小球质量相等,另有一个小球稍重,用天平称几次就可以找出这个稍重的球?思考2:已知函数在区间(2,3)内有零点,你有什么方法求出这个零点的近似值?62xlnx)x(f思考3:怎样计算函数在区间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?62xlnx)x(f区间(a,b)中点值mf(m)的近似值精确度|a-b|(2,3)2.5-0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25(2.5,2.625)2.56250.0660.125(2.5,2.5625)2.53125-0.0090.0625(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.03125(2.53125,2.546875)2.53906250.010.015625(2.53125,2.5390625)2.535156250.0010.007813思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法,那么二分法的基本思想是什么?对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.知识探究(二):用二分法求函数零点近似值的步骤2xy3xy思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么?思考2:为了缩小零点所在区间的范围,接下来应做什么?确定区间[a,b],使f(a)f(b)0求区间的中点c,并计算f(c)的值思考3:若f(c)=0说明什么?若f(a)·f(c)0或f(c)·f(b)0,则分别说明什么?若f(c)=0,则c就是函数的零点;若f(a)·f(c)0,则零点x0∈(a,c);若f(c)·f(b)0,则零点x0∈(c,b).思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值?当|m—n|ε时,区间[m,n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.思考5:对下列图象中的函数,能否用二分法求函数零点的近似值?为什么?xyoxyo理论迁移例2求方程的实根个数及其大致所在区间.3xxlog3例1用二分法求方程的近似解(精确到0.1).73x2x用二分法求函数零点近似值的基本步骤:3.计算f(c):(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2)若f(a)·f(c)0,则令b=c,此时零点x0∈(a,c);(3)若f(c)·f(b)0,则令a=c,此时零点x0∈(c,b).2.求区间(a,b)的中点c;1.确定区间[a,b],使f(a)·f(b)0,给定精度ε;4.判断是否达到精确度ε:若,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4.ba