1.5《函数的单调性与导数》课件(新人教选修2-2).1

1.5函数的单调性与导数oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上有单调性。G称为单调区间G=(a,b)一、复习与引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。'()fx'()fx'()fxO14xyy=f(x)临界点例2.确定函数在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？2()45fxxx2xyo解:(1)求函数的定义域函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)（2）求函数的导数'()24fxx（3）令以及求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。'()0fx'()0fx令2x－40,解得x2∴x∈(2,＋∞)时，是增函数令2x－40,解得x2∴x∈(-∞,2)时，是减函数)(xf)(xf利用导数讨论函数单调的步骤:(2)求导数).(xf(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;解不等式组得f(x)的单调递减区间.¢Îf(x)0xD¢Îf(x)0xD=()yfx(1)求的定义域D说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.练习：确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。32()267fxxx∴单调递增区间为:(2,＋∞)、(－∞，0)单调递减区间为:(0,2)例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。3(1)()3;fxxx2(2)()23;fxxx(3)()sin,(0,);fxxxx32(4)()2241.3fxxxx例3:确定函数f(x)=x/2+sinx;的单调区间:解:(1)函数的定义域是R,.cos21)(xxf令,解得0cos21x).(322322Zkkxk令,解得0cos21x).(342322Zkkxk因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:);)(322,322(Zkkk).)(342,322(Zkkk练习:判断下列函数的单调性•(1)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);•(2)f(x)=ex-x；''()()()()yxfxfxfxyfx问题：已知函数的图象如图（其中是的导函数）下列四个图象中的图象大致是（）-11-22-1-212xyＣＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１-２１-１-１例4:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:.13)(2axxf若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)(xf若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,01)(xf若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf故a0,其单调区间是:单调递增区间:11(,).33aa单调递减区间:和11(,)(,).33aa3练习：函数y=ax-x在R上是减函数，则（）1A.a=B.a=13C.a=2D.a0D3256123yaxbxxab例：已知函数的递减区间为（，），求、的值。x-x例7：讨论函数y=a-a(a0且a1)的单调性.2xax例6：已知aR，求函数f(x)e的单调区间。（2004年全国）b2ax-6例8；已知函数f(X)=的图象在点M（-1，f(-1)）x处的切线方程为x+2y+5=01）求函数y=f(x)的解析式；2）求函数y=f(x)的单调区间。作业布置：42125yxx）函数的单调减区间为（）A.（-，-1]及[0，1]B.[-1，0]及[1，+）C.[-1，-]D.（-，-1）及[1，+）2）在下列结论中，正确的有（）A单调递增函数的导数也是单调递增函数；B单调递减函数的导数也是单调递减函数；C单调函数的导数也是单调函数；D导数函数是单调的，则原函数也是单调的。345)xa‘2---------------------------------.3----------------------）若在区间（a,b）内有f(x)0且f(a)0，则在（a,b）内有（）A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)=0D.不能确定4）函数y=x的递增区间是递减区间是函数f(x)=x-x的递增区间是递减区间是-----------.2681xax2）函数f(x)的单调减区间为（-5,5)求f(X)单调递增区间bx7）讨论函数f(X)=(-1x1,b0)的单调性x3x28)已知函数f(X)=+bx+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f(-1)）处的切线方程为6x-y+7=01）求函数y=f(x)的解析式；2）求函数y=f(x)的单调区间。