几类方势阱的本征问题

几类方势阱的本征问题第1页共13页几类方势阱的本征问题摘要：简单介绍量子力学中几种方势阱问题，应用定态薛定谔方程，通过边界连接条件，了讨论几类方势阱的本征问题，求出相应的束缚态的条件。关键词：薛定谔方程，方势阱，束缚态，本征值一、引言求解量子束缚体系的本征问题是量子力学中的重要任务，特别是方势阱中运动的粒子问题,是个比较简单但又非常典型的问题对于在方势阱中运动的粒子，各类书籍详细地给出了粒子的能级和归一化波函数]41[但为更加有利于理解在深势阱中运动的粒子中一些基本的问题。选取方势阱为例不仅具有教学上的重要意义，选取它的另一个理由是这一体系本身的巨大实用性．随着近年来高质量半导体薄膜的生长技术如分子束外延(MolecularBeamEpitaxy)、金属有机物化学气相淀积等技术的发展，人们对薄膜单晶的生长过程的控制可以精确到一个单原子层，随意设计和制造上述势阱已成为可能．事实上，一维方势阱中的物理已成为当前新兴前沿学科“超晶格物理”的重要研究对象之一具有重要的研究价值。本文将求出几类方势阱中粒子的归一化波函数]41[计算并讨论方势阱的本征问题]1[，求出相应的束缚态的条件。二、一维无限深方势阱图(1)一维无限深方势阱设质量为的粒子在势场为a||,a||,0Uxxx(1)中运动求解定态薛定谔方程讨论其本征值问题。写出分区的定态薛定谔方程EH(2)区域(阱内,a||x)方程为几类方势阱的本征问题第2页共13页xExdx222d2-(3)区域,(阱外，a||x)方程为EUdx）（0222d2-(4)其中由势场可知0U波函数的边界条件是：()ａ＝（ａ）,()ａ＝（-ａ）(5)为了更加方便的求解本征方程,我们可以令202)(2',2EUEE可以得到方程xExdxd2222-(6)的通解为下式其中A，B为待定系数xixiBeAexa|x|(7)220()()2()2dUEdx(8)的通解为：''''()xxxAeBeax(9)''''''()xxxAeBe-ax(10)由(8)-(9)和波函数的有限性知，0,0,AB进一步可以得到下面方程：''()xxAexa(11)()x'''xBex-a(12)又由于0U，则可以知晓'022()UE于是就有()x=()x=0又可由边界条件a=a-a=-a（）（），（）（）(13)则可以得到方程组：aaaa00iiiiAeBeAeBe(14)几类方势阱的本征问题第3页共13页由于A,B不全为0，即可以得出方程：02sina(15)解上述三角函数则可以得到2an，2,10n，将其代人原方程组中可以得到得：02/2/ininBeAe(16)即可以求得关系式Bn11A代人下列方程之中xxBeAex(17)则可以得到方程组：a,5,3,1,a2cos6,4,2,a2sinxnxnDnxnC(18)由波函数的归一化条件+2n-||dx=1则可求得系数DC1进一步可以得到体系的本征函数为a|x|0a|x|5,3,1na2cosa1a|x|6,4,2a2sina1n，，，，nnnx(19)由于22E和2an因此对应体系本征函数的本征值为222222222(2a)8annnE，3,2,1n(20)则可以将一维无限深势阱中粒子的定态波函数可表述为：a||0a||,)a(a2sina1),(/xxexntxiEtn，(21)我们将得到的结果进行下列讨论：1、能量量子化几类方势阱的本征问题第4页共13页22228annE3,2,1n，(22)其中n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1称为基态，粒子处于能量最低的状态，即：0a82221EEinm(23)称为零点能。在a|x|时波函数均为零，即粒子被束缚在阱内运动。通常把在无限远处波函数为零的状态称为束缚态(仅在有限范围内运动的状态)。一般来说束缚态所属能级是分立的，束缚态——粒子被约束在空间某一确定范围。在无穷远处0时lim0xa能级有分立态，即分离谱2、(,)nxt是阱内驻波，是两个沿相反方向传播的平面波的迭加。(,)nxt/1sin(a)a2aiEtnxe=12exp[()]exp[()]2a2anninincxEtcxEt(24)其中1c、2c为两常数。3、与阱内经典质点的比较(1)经典质点的能量连续，而在量子力学条件下阱内微观粒子的能量是分立的。微观粒子具有波动性，限制在阱内运动，只能形成驻波，波长必分立，则粒子的能量和动量必分立。(2)经典粒子的能量的最小值为零，它可在零到无穷大之间取值，而阱内微观粒子的能量最小值不等于零。当微观粒子的质量增大且阱宽增大时，过渡到宏观环境,能量连续。(3)经典质点几率分布均匀，而阱内微观粒子几率分布不均匀。三、一维有限对称深方势阱图(2)一维有限对称深方势阱几类方势阱的本征问题第5页共13页设质量为的粒子在势场为a||,a||,0)(0xUxxU(25)中运动，求定态薛定谔方程的解00UE写出区分的定态薛定谔方程：EH2222202,||a2,||a2dExdxdUExdx(26)我们可以令2E2,20'-U2E则分区的薛定谔方程为：22(x)+x=|x|a(x)x=|x|a（）0，（）0，(27)则由此可以解的各分区的通解为：a,)(a||,cossin)(a||,)(32''1xDexxxBxAxxCexxx(28)考虑到方势具有空间反射对称性则能量本征态必有确定的宇称则可进行下面的讨论：1、偶宇称态：a,)(a||,cos)(a||,)(32''1xDexxxBxxCexxx(29)由'ln()x在ax连续得：''a''a''a''a''-11(sina)cosa11()=(sina)cosaeCeBCBeDeBDB(30)即可以求得：)a(''tg(31)另有：几类方势阱的本征问题第6页共13页22''22oU(32)现在我们令=a=a，则可以得到：222022atgU(33)2、奇宇称态a,)(a||,sin)(a||,)(32''1xDexxxAxxCexxx(34)由'ln()x在ax连续可求出''tga（）(35)令=a=a，则可以得到tg（）(36)2''2022+=U(37)联立确定参数与从而确定能量本征值。3、讨论结果：由图解法]1[近似求解得知对偶宇称态无论20aU多小方程至少有一个根，即至少存在一偶宇称的束缚态。当20aU增大使2222022aU(38)不仅会出现的基态还会出现第一激发态和更高的激发态。奇宇称态与偶宇称态不同只当2222022a4U(39)即可以得出2220a/8U(40)才可能出现最低奇宇称能级。几类方势阱的本征问题第7页共13页由上分析可知束缚定态(E0U)的能量是分立的,只当粒子能量取某些分立值是其相应的定态波函数才能满足束缚态边界条件||,()0xx这些能量值即能量本征值，相应波函数为能量本征函数。综上得出结论(1)能级的宇称是奇偶相间，最低的能级是偶宇称。(2)每个能级都比无限深方势阱相应能级低一些。(3)不论势阱多浅或多窄，至少存在一个束缚态。四、一维中心不对称有限深势阱图(3)一维中心不对称有限深势阱设质量为的粒子在势场a,0,0,00xxUxxUａ(41)中运动，求其定态薛定谔方程的解．这里我们只考虑束缚态情形，00UE。写出分区的定态薛定谔方程EHa,0,2a020222222xxEUdxdxEdxd，(42)令222012,2EkEUk则分区的定态薛定谔方程为a,00)(-)(a0,0)()(21''22''xxxkxxxkx，(43)因此各分区的通解为a,a0,)(0,)(:::1221321xDexxCeBexxAexxkxikxikxk）（(44)几类方势阱的本征问题第8页共13页其中DCBA、、、为待定常数。由波函数的连续条件：)a()a(),a()a()0()0(),0()0('3'232'2'121(45)可得到并化简得方程AkikkekikkeDAkikkCAkikkBaikkaikk]22[222122122122122121(46)还可由A、B、C、D不全为零得到条件并化简得221222)(kkkaktg且有:2022212Ukk因此，可以将方势阱的波函数写成只含有归一化常数A的方程组由归一化条件1||2dx进一步可得到一维不对称有限深势阱的波函数为：a,]22[a0,22)(0,)(1212122121221221221221xAekikkekikkexAekikkAekikkxxAexxkaikkaikkxikxikxk(47)讨论结果1、确定粒子的能级令aa12kk，则可将方程221222)(kkkaktg，2022212Ukk化简为2022222a2cos2sin)(U(48)可由图解法]4][1[看出，202a2Uu的取值在0间有一个束缚态能级；取值在2间时有2个束缚态；以此类推取值在)1(nn间时有n+1个束缚态。而当），，（321nna2202Uu时几类方势阱的本征问题第9页共13页粒子的最高能级满足0，此时有22220a2unUE(49)(2)当0U时由221222)(kkkaktg,2022212Ukk可求的波函数为321na0,ansina2)a,0(,0，，），（xxxx(50)与一维不对称无限深方势阱的解]1[一致。五、三维无限深方势阱设三维无限深方势阱的的势函数为azzayyaxxazayaxV,0;,0;,0,0,0,0,0(51)一个质量为m的粒子在这样的方势阱中运动，则势阱内粒子的定态薛定谔方程为zyxEzyxzyxm,,,,)(22222222(52)E为粒子的能量本征值，该方程应用分离变量法转化为一维问题并考虑边界条件后解一维问题]31[合并后，很容易求出zanyanxanAzyx321sinsinsin,,(53)2222322212)(mannnE)3,2,1;3,2,1;3,2,1(321nnn(54)利用归一化条件很容易可以求出2/3)2(aA则可以得出三维情况下的波函数为azzayyaxxazayzanyanxanazyx,0