2016届人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第11章推理与证明、算法初步与复数 第2讲直接证明

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点．第2讲直接证明与间接证明基础诊断考点突破课堂总结1．直接证明知识梳理内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论_____从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的____条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止成立充分基础诊断考点突破课堂总结内容综合法分析法实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……基础诊断考点突破课堂总结2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明__________的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．不成立矛盾原命题成立基础诊断考点突破课堂总结(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示××××基础诊断考点突破课堂总结2．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案A基础诊断考点突破课堂总结3．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x0)，则a与b的大小关系为()A．abB．abC．a＝bD．a≤b解析a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x0时，0b1，∴ab.答案A基础诊断考点突破课堂总结4．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.答案BA．ac2bc2B．a2abb2C．1a1bD．baab基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A选修1－2P37例3改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．答案等边三角形解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．基础诊断考点突破课堂总结考点一综合法的应用【例1】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.基础诊断考点突破课堂总结规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】在△ABC中，设CB→＝a，CA→＝b，求证：S△ABC＝12|a|2|b|2－a·b2.证明∵S△ABC＝12|a||b|sinC，cosC＝a·b|a||b|，∴S2△ABC＝14|a|2|b|2sin2C＝14|a|2|b|2(1－cos2C)＝14|a|2|b|21－a·b|a||b|2＝14[|a|2|b|2－(a·b)2]∴S△ABC＝12|a|2|b|2－a·b2.基础诊断考点突破课堂总结考点二分析法的应用【例2】已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．基础诊断考点突破课堂总结证明∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．【训练2】已知m＞0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.基础诊断考点突破课堂总结考点三反证法的应用【例3】设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．(1)解设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．基础诊断考点突破课堂总结规律方法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝ba.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①ax2＝b，②由①－②得a(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根.基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件．2．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．基础诊断考点突破课堂总结3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．[易错防范]注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．