数学建模

观众厅地面设计摘要阶梯教室地面升起高度关系到学生是否会被前面的学生挡住视线，能否看到黑板，对学习影响很大。本文从实际出发，做出合理假设：只要使每一位同学的视线从前一个位置同学的头顶擦过，就可认为不存在视线遮挡问题。从而将问题巧妙地转化为几何问题，然后利用几何中的相似，斜率关系等数学知识推导出阶梯教室地面升起曲线的函数表达式。为实际设计提供有用的理论指导。1问题的提出在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。建立坐标o—处在台上的设计视点a—第一排观众与设计视点的水平距离b—第一排观众的眼睛到x轴的垂直距离d—相邻两排的排距δ—视线升高标准x—表示任一排与设计视点的水平距离Y—台阶距离地面高度2问题的假设（1）观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。（2）同一排的座位在同一等高线上。（3）每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。（4）所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。3建立模型设眼睛升起曲线应满足微分方程初始条件1）从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。选择某排同学M（x，y）及相邻排M1（x−d，y1），M2（x+d，y2）考虑，做出下图，由曲线y=y（x）是凹的，可以看出，在M点KMM1Ky(x)KMM2其中K是斜率。由图易得：M1N1=MN=AB=d故KMM1=（MA+AB0/M1B=(MA+d)/n又由△N1MA与△OMC相似，有MA/y=n/x故MA=yx/n代入KMM1=（MA+AB）/M1B=(MA+d)/n，即有KMM1=y/x+d/n对于KMM2，由△OM2C2与△ONC相似于，知（M2D+y）/(y+d)=(x+n)/x故M2D=[x+ny+d]/x−y=yn/x+dn/x+d从而KMM2=M2D/MD=y/x+d/x+d/n所以KMM1Ky(x)KMM2可写成y/x+d/n＜dy/dx＜y/x+d/x+d/n故同学的眼睛连起来的升起曲线y=y（x）所应满足的条件为：y/x+d/n＜dy/dx＜y/x+d/x+d/ny|x=a=b令dy/dx=y/x+d/ny1|x=a=b解得：y1（x）=bx/a+dx2ln(x/a)/n令dy2/dx=y2/x+d/x+d/ny2|x=a=b解得：y2（x）=bx/a+dx2ln(x/a）/n＋d（x/a-1）由y1和y2的解我们可以初步给出同学眼睛升起曲线y(x)的取值范围，即Bx/ax/+dxln(x/a)/ny（x）bx/a+dxln(x/a)/n＋d（x/a-1）在此，采用工程上常用的折衷法，取y=(y1+y2)/2从而有y=bx/a+dxln(x/a)/n＋d（x/a-1）/2故所求地面相对于设计视点所在x轴升起的高度曲线为：Y=y+b2–b1=bx/a+dxln（x/a）/n＋d（x/a-1）/2+b2–b14总结与讨论方法：利用微分不等式建模；有时只需求近似解。模型讨论：（1）视点移动时升起曲线如何求得？（2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。（3）衡量经济的指标？座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。5模型评价模型优点：1.模型一从已有的数学知识出发，进行严格的推导，得出所求阶梯教室地面升高曲线。2.模型来源于生活，具有很强的适用性。3.模型给出了具体的地面升高曲线，为今后阶梯教室的设计及座位的设计。4.模型从根本上解释了很多阶梯教室出现视线遮挡的原因。模型缺点1.有些数据的测量可能不是很准确。2.模型简化了很多，如每个人的身高差别较大，模型中并没有深入考虑。6.参考文献【1】王小强，影剧院观众厅地面升高曲线的数学模型[J]，牡丹江大学学报，2012.2【2】母丽华，周永芳，数学建模[M]，北京，科学出版社，2011.2【3】王政贤，赖定文，观众厅地面升起曲线的求介问题，1978