数学建模-自动控制-自动控制系统的数学模型

自动控制原理第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型本章主要内容:2.I2.22.32.42.5物理系统的数学模型非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.1物理系统的数学模型2.1.12.1.22.1.3机械系统电气系统相似系统数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤Example自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.1.1数学模型的定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.1.1数学模型的定义系统框图tu2uuanvut由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.1.1数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：自动控制原理第二章控制系统的数学模型数学模型的形式时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性自动控制原理第二章控制系统的数学模型数学模型的准确性和简化Part2.1.2建立数学模型的基础机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学：欧姆定理、基尔霍夫定律热学：传热定理、热平衡定律微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性(),dyytdt(),()ykTykTT自动控制原理第二章控制系统的数学模型机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼B质量M弹簧K自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.1.3提取数学模型的步骤划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式自动控制原理第二章控制系统的数学模型负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）划分环节按功能（测量、放大、执行）自动控制原理第二章控制系统的数学模型写出每或一环节(元件)运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。自动控制原理第二章控制系统的数学模型写成标准形式例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.2非线性数学模型的线性化2.2.12.2.22.2.3常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.2.1常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理叠加原理：可加性齐次性1212()()()()()fxxfxfxfxfx不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。自动控制原理第二章控制系统的数学模型有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。自动控制原理第二章控制系统的数学模型2.2.3线性化方法以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程局部线性增量方程自动控制原理第二章控制系统的数学模型增量方程增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。自动控制原理第二章控制系统的数学模型多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程自动控制原理第二章控制系统的数学模型单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.3拉氏变换及其反变换2.3.12.3.22.3.3拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换求解方程拉氏变换拉氏反变换自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.3.1拉氏变换的定义设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时，f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛0)(dtetfst则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。自动控制原理第二章控制系统的数学模型拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。自动控制原理第二章控制系统的数学模型高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数Part2.3.2.1拉氏变换的计算自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.3.2.3拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理自动控制原理第二章控制系统的数学模型F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)条件：分母多项式能分解成因式10111011....()(),()....mmmmnnnnbsbsbsbBsFsmnAsasasasb))...()(())...()(()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,...,,21mzzz,...,,21多项式极点多项式零点Part2.3.2.2拉氏反变换方法部分分式法的求取拉氏反变换自动控制原理第二章控制系统的数学模型将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。Part2.3.3拉氏变换求解线性微分方程自动控制原理第二章控制系统的数学模型应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式的解正弦函数Bsin(t+)指数函数Aeat微分方程式的各系数起始条件外部条件a、A、B、自动控制原理第二章控制系统的数学模型Part2.4典型环节及其传递函数2.4.12.4.2传递函数的定义典型环节的传递函数自动控制原理第二章控制系统的数学模型在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。系统(或环节)的输入量系统(或环节)的输出量)()()]([)]([)(sXsXtxLtxLsGrcrc)()()(sGsXsXrc)(sXc)(sXrPart2.4.1传递函数的定义输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0自动控制原理第二章控制系统的数学模型nnnnmmmmrcasasasabsbsbsbsXsXsG11101110......)()()()()...()()...(11101110sXbsbsbsbsXasasasarmmmmcnnnn初始条件为零时微分方程拉氏变换)()(...)()()()(...)()(1111011110txbdttxdbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdarmrmmrmmrmcncnncnncn系统的传递函数!传递函数的直接计算法iidtd)(is系统传递函数的一般形式自动控制原理第二章控制系统的数学模型N(s)=0系统的特征方程，特征根特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。)()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110...)(nnnnasasasasN1110...)(当s=0时系统的放大系数或增益KabGnm)0(特征方程自动控制原理第二章控制系统的数学模型M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。))...()(())...()(()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110......)(零点和极点自动控制原理第二章控制系统的数学模型传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图自动控制原理第二章控制系统的数学模型g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）)]([)()()()(tgLsXsXsXsGcrc系统输出)(txc单位脉冲函数)()(ttxr1)]([)(tLsXr脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应自动控制原理第二章控制系统的数学模型传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。结论自动控制原理第二章控制系统的数学模型适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意自动控制原理第二章控制系统的数学模型设系统有b个实零点;d个实极点;c对复零点;e对复极点;v个零极点))...()(())...()(()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110......)(Part2.4.2典型环节的传递函数b+2c=mv+d+2e=n自动控制原理第二章控制系统的数学模型sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(比例环节一阶微分