数学建模・市场投资的收益和风险模型

1市场投资的收益和风险模型摘要本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。另外，在考虑交易费时，由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。最后，由MATLAB求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表：问题一的投资组合方案如下：0~0.030.040.05~0.20.21~11S0.00000.00000.00001.00002S0.99010.36900.23760.00003S0.00000.61500.39600.00004S0.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.0000问题二给出了投资收益与风险的一般模型：001max()niiiifmrpmrming=max{}iimq01(1)1.01niiiimpmstm再将15n带入模型，按问题一相同思路得出投资组合方案（具体方案见文中）。关键词：多目标规划加权系数法市场投资2一、问题的重述市场上有n种资产（如股票、债券、…）),,1(niSi供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买iS的平均收益率为ir，并预测出购买iS的风险损失率iq。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的iS中最大的一个风险来度量。购买iS要付交易费，费率为ip，并且当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r,且既无交易费又无风险。（0r=5%）1、已知n=4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出数据进行计算。二、模型的假设1、假设确定M相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费；2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量；3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费；4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。三、符号的约定:n市场资产数目；:iS市场资产的种类（其中0S表示投资银行）；:im选择投资iS的资金比例（其中0m表示投资银行的资金比例）；:ir购买iS的平均收益率；:iq购买iS的风险损失率；:ip购买iS的交易费率3:iU交易费用；:iu交易额较低时的交易费用；:M总给定的投资资金；:f净收益额；:g总体风险。四、模型的建立与求解（一）问题一的分析、模型的建立与求解1、问题的分析该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽可能大，又要让风险最小。在投资每一种资金的同时，都有着相应的一组数据对应，即收益率ir，风险损失率iq，交易费率ip。对于银行来说，0005%,0,0rqp。但在考虑交易费时需要分段考虑：00;;.iiiiiiiiMmUuMmuMmMmu在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大的一个风险来度量，即要求在风险的最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问题。两者是对立矛盾的，就要我们在两者之间找到一个合适的投资方案让问题求解。2、模型的建立建立多目标规划函数：4001max()iiiiifMmrUpMmrming=max{}iiMmq约束条件：4401.0,01iiiiiiiMmUpMstUm3、模型的求解对于该模型的求解，是比较复杂的，直接求解几乎找不到方法，我们只好将问题进行化简处理，试探求解。问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束，我们如果有一部分投资额低于给定值时，问题将十分麻烦，将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值，那么总共4的情况就有82256种。在投资额都超过最低给定值的这种情况下的交易费：4411103*0.01+198*0.02+52*0.045+40*0.065=9.9300iiiiiUUpu显然数据很小，我们可以忽略掉。在最好的一种方便的情况下，就是4中投资额都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然。然而在假设中M为相当大，我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分的交易费。重新列出为：0;.iiiiiiMmuUMmMmu此时把M当作一个单位量，于是，4001max()iiiifmrpmrming=max{}iimq401(1)1.01iiiimpmstm现在问题还是比较复杂，我们将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数。转化为一个目标函数：min(1)()Fgf01反应的是风险水平，0时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能达到最大，但是风险也达到最大；1时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就会把投资全部放在银行。对于第二个目标函数，是一个非线性的，解决十分麻烦，但是该式总有一个最大值5m，则有5iimqm，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。45001min(1)(())iiiiFmmrpmr4015(1)1.01,,401iiiiiimpmstmqmim上述线性规划模型，容易由MATLAB优化工具箱的linprog线性规划函数求出解。我们取0,0.1,0.2,,1，编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1：5表1：投资组合方案（见附录程序一）0~0.030.040.05~0.20.21~11S0.00000.00000.00001.00002S0.99010.36900.23760.00003S0.00000.61500.39600.00004S0.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.00004、问题的结果投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图1：0.050.10.150.20.250.300.0050.010.0150.020.025收益风险图1：收益与风险值关系可以看出，在收益增大的同时，风险也在增大。这符合一般生活的规律。而由图也可以看出，在风险为0的情形下，收益值为0.05，此时刚好正是全部投资银行的收益值。（二）问题二的分析、模型的建立与求解1、问题的分析本问题要求给出一般情况的讨论，实际上，在问题一的基础上我们很容易归结出该模型的一般情况。即将上面建立的模型中的4换为n即可。相同的，我们还是当作M很大的时候，交易费很低时，U值可以忽略，使问题简化。62、模型的建立由分析可以写出模型的一般情况：001max()niiiifmrpmrming=max{}iimq01(1)1.01niiiimpmstm上述问题仍然采用问题一的思想，运用加权系数法将多目标规划转为单一目标线性规划问题：1001min(1)(())nniiiiFmmrpmr011(1)1.01,,01niiiiinimpmstmqminm3、模型的求解对于一般情形下的15n，下面进行计算。由于一般情形中假设投资额较小时，可以忽略，验证该情况下的交易费：151511=181.6730iiiiiUUpu可以看出，对于相当大的M，该值不计时符合的。运用相同的方法计算得到最佳抉择与收益及其风险见表2：表2：15n时的投资组合方案（见附录程序二）00.010.02~0.030.04~0.050.06~0.070.080.090.1~11S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05180.00002S0.00000.00000.00000.00000.04530.04250.04030.00003S0.94340.04980.04560.04270.04070.03830.03620.00004S0.00000.00000.00000.06110.05820.05470.05180.00005S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.000076S0.00000.00000.00000.00000.00000.05890.05580.00007S0.00000.04390.04020.03770.03590.03380.03200.00008S0.00000.00000.08180.07680.07320.06870.06510.00009S0.00000.05600.05130.04810.04590.04310.04080.000010S0.00000.07460.06830.06410.06110.05740.05440.000011S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.000012S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.000013S0.00000.74640.68340.64110.61110.57390.54360.000014S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.000015S0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000存银行0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000净收益0.40940.32070.31660.31070.30310.29090.27940.0500风险值0.56600.02990.02730.02560.02440.02300.02170.00004、问题的结果上表中投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图2：0.050.10.150.20.250.30.350.40.4500.10.20.30.40.50.60.7收益风险图2：15n时收益与风险关系由图可以看到，收益值增加的同时，风险也在增大。我们可以通过简单的曲线拟合8来建立收益—风险函数，找到最优情况下的组合。五、模型的检验与灵敏度分析1、实用性分析我们在简化模型的时候，是在iiMmu的前提下给出解集的，也就是要满足每一项投资：iiumM。对于这个条件，由于iu给出值一般较小，M充分大，是容易满足的。但是我们的模型在0iiumM时，给出的解就不再时最优解。2、灵敏度分析①对最小的投资额的分析在适用性满足的条件下，我们得找出一个最小的投资额minmax{}iiuMm，看不同的情况下的灵敏度。对于不同的值对应的minM如表3：表3：不同的值对应的minM0~0.030.040.05~0.20.21~1minM199.9798536.5854833.3333不考虑总体说来，minM的值比起充分大的M来说，还是很小的；而且可以看出，在[0.21,1]这个大的范围之内，全部存入银行，不考虑最小值。②对n值的分析由问题一与问题二可知，在n增大的情况下，得到的收益值越大，且风险值越小。也就是说投资越分散，总体的风险也就偏小，净收益也就增大。③对相关数据的分析由于投资项目的各组数据值较多，也容易变化，