数学建模习题及答案课后习题

1第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。（2）2.1节中的Q值方法。（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：12345…A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。25.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。组别最大体重（kg）抓举（kg）挺举（kg）总成绩（kg）154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010〉108197.5260457.5第一部分课后习题答案1.按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）A322443B333555C455667总计1010101515152.（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为3形状一定时一般有3/2ws，故商品的价格可表为3/2wwC（,,为大于0的常数）。（2）单位重量价格13/1，其简图如下：显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即31lkw，1k为比例系数。常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是ldkw22，2k为比例系数。利用数据估计模型中的系数可得1k=0.014，2k=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量（g）76548211627374821389652454模型31lkw72746912267274831339675483模型ldkw2273046511007304831471607483基本上满意。4.将管道展开如图：4可得cosdw，若d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为dl/w，若考虑两端影响，则应加上dw/sin。对于其它形状管道，只需将d改为相应的周长即可。5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为1N=[a/2][b/2]方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）3a，于是m=132a图1图2列数（按图2第1行计数）n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。圆盘总数为)2(2/12/)1]([)1(2/)1]([2bmbmN其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，[b]为偶数。两个方案的比较见下表(表中数字为1N/2N)：35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105当a，b较大时，方案二优于方案一。其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是2lS，所以饲养食物量2lw。ab57.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积2ls（l是某特征尺寸），体重3lw，于是3/2wy。用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合wy，可得=0.57，结果如下图4。图3图4第二部分课后习题1.Malthus模型预测的优缺点。2.阻滞增长模型预测的优缺点。3.简述动态模型和微分方程建模。4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二部分课后习题答案1.优点:短期预报比较准确;缺点:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。2.优点:中期预报比较准确;缺点:理论上很好，实用性不强;原因:预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。3.动态模型:描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。64.描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。5.不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1),是一种差分方程模型。6.连续形式:()yt表示某种群t时刻的数量(人口)d(1)dmyyrytN离散形式:ny表示某种群第n代的数量(人口)1(1),1,2,nnnnmyyyrynN若nmyN,则12,,nnmyyN,*myN是平衡点;1(1)nnnnmyyyryN的平衡点为*myN.1(1)1(1)nnnmryryyrN的平衡点为*111rxrb,其中1,/(1),()(1)nnmbrxryrNfxbxx,此时的差分方程变为1(1)()1,2,nnnnxbxxfxn.由()(1)xfxbxx可得平衡点**11,0xxb.在平衡点*0x处,由于(0)1fb,因此,*0x不稳定.在在平衡点*11xb处,因**()(12)2fxbxb,所以(i)*()13fxb当3b时,平衡点*11xb不稳定;(ii)*()1fx13b当13b时,平衡点*11xb不稳定.第三部分课后习题1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）70,12432085862.753max12121321321321xxxxxxxxxxtsxxxf＋）（),,2,1(0),,2,1(.max)2(11njxmibxatsxcfjnjijijnjjj),,2,1;,,2,1(..,min321212mjmicyxtsybxafijiinjjjmiii）（2.将下述线性规划问题化为标准形式。取值无约束）（321321321321321,62,063244239232min1xxxxxxxxxxxxxxxZ无约束）（yxxyxyxZ,32||||max2无约束）（321321321321,0,064..22min3xxxxxxxxxtsxxxf8无约束）（423143132143214321,0,0,12285327..32max4xxxxxxxxxxxxxxtsxxxxf3.用单纯形法求解线性规划问题。0,18231224..52max21212121xxxxxxtsxxf4.检验函数212212)1()(100)(xxxxf在Tx)1,1(*处有**,0Gg正定，从而*x为极小点。证明G为奇异当且仅当005.0212xx，从而证明对所有满足0025.0)(xf的x，G是正定的。5.求出函数4131212221222)(xxxxxxxf的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为全局极小点？6.应用梯度法于函数,10)(2221xxxf取.)1,1.0()1(Tx迭代求.)2(x第三部分课后习题答案1.答案：（1）是（2）不是（3）是2.答案：（1）式：，可得到如下的标准形及剩余变量引入松弛变量令5642233311,.2',''','xxxxxxxxxx94''3'3'2'min3321xxxxz0,,,'',',','4'2''3'3'2'42''2'2''37'''''2.65433216233215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts（2）令0,0,0,.0,0;0,21xxxxxxxx0,0,0,.0,0;0,21yyyyyyyy引入松弛变量.,ts可得到如下的标准形式：