有关寿命分布的参数模型

生命表理论第二章参数寿命分布有关分数年龄的假设生命表理论生命表的构造生命表函数本章中英文单词对照死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表Age-at-deathLifetableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForceofmortalityLimitingateSelect-and-ultimatetables第二章参数寿命分布有关分数年龄的假设生命表理论生命表的构造生命表函数生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：()Pr()SxXx()1()SxFx()()fxSxxPr()()()xXzsxsz人类寿命生存函数曲线图示00.20.40.60.81121416181101年龄生存函数例2.1假设某人群的生存函数为求：一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率；一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率；一个活到30岁的人活不到60岁的概率。()1100xSx()1,0100100xSxx解2.1100501(1)Pr(50)(50)1(50)1002100801(2)Pr(80)(80)10051(3)Pr(6070)Pr(60)Pr(70)(60)(70)10Pr(3060)(30)(60)34Pr(6030)Pr(30)(30)7XFSXSXXXSSXSSXXXS（）剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数：(())()()()()txqPrTXtPrxXxtXxSxSxtSxtxq剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。剩余寿命与寿命变量图示剩余寿命剩余寿命的生存函数特别txpPr(())Pr()()()txpTxtXxtXtSxtSx0()xpSx生存函数与剩余寿命生存函数的对比图示剩余寿命基本函数：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率xpxqxtuq1xxpp1xxqqxtuxtxtxtuxtuqqqpp剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差()x00(())(1)oxtxtxeETxtdppdtoxe2220(())(())(())2otxxVarTxETxETxtpdte整值剩余寿命剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数()x()Kx(),()1,0,1,KXkkTxkk11Pr(())Pr(()1)kxkxkxkxkxxkxkKXkkTxkqqpppqq整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差()x11100(())xxxkxxkkxkkeEKxkpqpxe122210(())()()(21)xkxxkVarKxEKEKkpe死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系()xx()()ln[()]()()xSxfxSxSxSx0()exp{}exp{}xsxttxsxSxdspds人类的死亡效力曲线图示00.010.020.030.040.051214161年龄死亡效力人类死亡效力的规律人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构，被称为“浴盆曲线”。人类的“浴盆曲线”意味着：刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数()()()1()()()()()()()()txxttxxtSxSxtGtpSxSxtddSxSxtgtGtpdtdtSxSx()gt()()xfxSx例2.2已知给出生存函数请计算和100()20xSx,0100x(75),(75)Ff75（）解2.210075(75)1(75)10.752011()();(75)0.00540100(75)(75)0.02(75)FSfxSxfxfS例2.3已知计算113120.090,0.170,0.250.xxxqqq111230.0900.1700.250xxxqqq12xxqq解2.31123230.1700.025xxxxxqppqq121112120.6800.7700.0900.117xxxxxxxpppqpqq120.2300.1170.347xxqq例2.4如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的人在未来25年内的期望存活时间解2.4在常数死亡力下，，则25岁的人在未来25年内的期望存活时间为ttxpe0.04250.04150.06(15)15251540,0.15,15tttttpppteee02525:2525015250.040.04150.06(15)01511.284.1315.41tttepdtdtdteee解2.4（方法二）25岁的人在未来25年内的期望存活时间为02525:25252525015250.040.04150.06(15)0.04150.0610015150.040.040.04150.06(15)01515250250.04150.06(15)0.04150.061015252525tttttttetdpptdtdtdttdteeeeeeeeeeeee8.2311.280.704.137.5315.41第二章生命表函数有关分数年龄的假设生命表理论生命表的构造参数寿命分布有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)1()1,0xxxSxx()exp{(1)/ln},B0,c1,0xxxBcSxBccx有关寿命分布的参数模型Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)()exp{(1)/ln},B0,A-B,c1,0xxxABcSxAxBccx1()exp{/(1)},0,0,0nxnkxSxkxnknx参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。第二章生命表函数有关分数年龄的假设生命表理论参数寿命分布生命表的构造生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：x0l生命表的构造个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作0lnxdxd1nxxxnxnxxxxxxdlllqdlllqxl0()xllSx0l生命表的构造个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：xttxyxLldyoxxyxxxTTldyel0l0ltxLxT生命表的构造中位死亡率所谓X岁的中位死亡率是指X岁的人平均每存活一年会发生的死亡数平均生存年数所谓X岁的平均生存年数是指在年龄X～X+1岁之间死亡的人，在这一年中的平均生存时间xxxdmL1()xxxLlaxd生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89~xxttxqtxdtxLxTxexl例2.5已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。10000(1)100xxl30203030303010,,,dpqq解2.5503030312030303060404130303010303050552030520010000001.1005/73/71/702.1/163.(1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle例2.6已知假设死亡在年内均匀发生，求：（1）这群老人在70岁时的期望剩余寿命；（2）这群老人在71岁时的中位死亡率；（3）这群老人在72岁时的平均生存时间。X707172737410008004001000xl解2.670717273707071117171007171711000800400100(1)2.31000(2)800(1)400800(1)400600400260031(3)(72)2ttllllellttLldtttdtdmLa＋选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用选择-终极表实例[x]选择表终极表60.0175.0249.0313.0388.0474.05456561.0191.0272.0342.0424.0518.05966662.0209.0297.0374.0463.0566.06526763.0228.0324.0409.0507.0620.071