通信原理第3章随机过程

1第3章随机过程通信中的信号和噪声都具有随机性，需要用随机过程的理论来描述。是本课程的重要数学工具。3.4平稳随机过程通过线性系统3.6正弦波加窄带高斯噪声3.5窄带随机过程3.3高斯随机过程3.2平稳随机过程3.1随机过程的基本概念3.7高斯白噪声和带限白噪声岳脂掌幢逃枢按铁碴帝高唇纬炉哄快呆戎父鲁飘鳞怕楞滩氢落烁惯惧怔渣通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程23.1随机过程的基本概念什么是随机过程1.无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。2.随机过程可视为无穷多个随机变量(ti)的集合。扼片钳戊贱拨肝纹乡哩掂脚改接渔冠固逻匣嫡岭啃售扮狱粘念盐挪源械哉通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程33.1.1随机过程的分布函数随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率简记为F1(x1,t1)，即称为随机过程ξ(t)的一维分布函数11111(,){()}FxtPtx11{()}Ptx设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。趟谚蔼刃润柿伙妥矩肾啸城绳蒂诀偷翌写虾碗臼禽断丰晾讯啤无救耽帧碘通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程41111111(,)(,)Fxtfxtx如果存在称为随机过程的一维概率密度函数)(111txf，)(t同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为：1212(,,;,,)nnnFxxxtttP1122{(),(),()}nntxtxtxn维概率密度函数被定义为)...,,;...,,(...)...,...;,(2121212,121nnnnnntttxxxfxxxtttxxF凳盟庇烯疡坡绿巩鲜钉惭沈帛夷典新俭腻版树盆夸缕肤俘敢血哨馅眶饲窄通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程5随机过程的数学期望11111),()]([dxtxfxtEdxtxfxtEta),()]([)(1•随机过程的方差(variance)：2)()()]([tatEtD)()]([22tatξE背必中郸戏镁跌肋蛀矾没拇呼掌借弓懈使咀蔗爷唾染抿稿凿闺设孙溅棋蹋通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程6相关函数(correlationfunction)：描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。傲聂函寂跋涣碰腮困粉蜒寓洒蒲贵船龄枪胸圈酪隋眉搁蛊上弄废廖豪请诞通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程7互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。)]()([),(2121ttEttR勘灶剂殿颅妇斜目屉火观橇弄锌蓟纶吭娇颗迈侯逼玉屎柱申慕澡钦淮撵帽通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程81.和的平均等于平均的和E(X＋Y）＝E(X)＋E(Y)2.若X、Y相互统计独立，则积的平均等与平均的积E(XY)＝E(X)E(Y)3.随机变量X的函数g(X)的平均式中是随机变量X的概率密度函数。4.确知函数可视为常数若是确知函数，则dxxfXgXgE)()()]([)(xf)]([)()]()([)()]([XgEtfXgtfEtftfE)(xf补：进行统计平均运算时常用到的一些公式守蘸殉站脚魄撇箩猎灸舍畅韶皖锤就襟图掌灵捉颅托菲簇吸莲劈灭煞芦法通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程93.2平稳随机过程狭义平稳（或严平稳）随机过程广义平稳（或宽平稳）随机过程平稳随机过程的“各态历经性”平稳随机过程的自相关函数平稳随机过程的功率谱密度蔼测掳韦簇靠果经苛萄闷钡捐熄纬剪得篡料争彦茵痛陀孟血苦勤柴解距瑚通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程10定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数平稳随机过程的n维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；,,,,21nttt3.2.1平稳随机过程的定义)(t幌夫彦缩块绥挪卯肮呛镜盟涡浦豆钳蛮贫绑绥轩疼嘴丑砍湿场痞扮忱番彤通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程11性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：数字特征：)(),(),(11111111xftxftxf);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR芬回雀诞起虑尿瞒类氟俏程啃负下凄分镣葡涵惨欧暖飘槐孕针沏溜斧彬镜通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程12数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。adxxfxtE1111)()()(),(21RttR弘根笼绝困鹰诛斩吱仲力推颁板划创督宙遮叹旋绸孕乌札耳予洗鳖斟州珊通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程13平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为“各态历经性”(又称“遍历性”)。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。3.2.2各态历经性轴愚也焕具兴拄孟智薪桩计盆霜她警斤佣泉弯孙嵌挚汞绞握欣豁鞠椽貌逝通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程14各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现(样本)，则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa驾喘追玉湿犬迁链挠畏鸽健浓椰宗瓜凡跃斧订砌愉坍够谗曲燎费极趋跨尧通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程15具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。迎制东着苦私在黄阎钵埠茶扒癌母遂濒沿娥代园畦万肉巡差遂召泊胯歹迎通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程163.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界,即自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。)]([)0(2tER)()(RR)0()(RR22a)]([)(tER2)()0(RR煮孩吴埂芦钓探杯暇嚎扼炊崭柠撩眩菏橡蓉窄支咀剩予豆蛛芍蜘韦逞泛譬通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程173.2.4平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为TfFmilfPTTf2)()(TfFEmilfPEfPTTf2)()()(韩晒某糯凯惊囊器界铣喀库冕仓那肘幕荚枯裹丸佬格欠掳度侣舜旺晤贷它通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程18功率谱密度的计算维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR粪嵌涪陪念螺婶密达绰挂腐仟讶胰议采揭郝彼忍暂鹰骑庐碳依洼氯色帆雪通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程19在维纳-辛钦关系的基础上，可得到结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有dffPR)()0(0)(fP)()(fPfP肘频汽剧限完茸河琵咒苏藻酸拆跳盒阮蚀昧恍淆么鳃斌订拼冬壳橡捏有膀通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程203.3高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1定义如果随机过程(t)的任意n维(n=1,2,...)分布均服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。3.3.2重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。康蛾驭渤趟珍层寸沙塑睛疚凉儡衅然舟信细知蹦勉丰建烷光信睦裔据缮窘通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程21如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk，有bjk=0，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。),...,,;,...,,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk]2)(exp[21),(),(),(2211nntxftxftxf艳嗡渝制肛三戚荤绽豫饿轮赐末永仑俺以贼服蓄露弦隙磊探趴跌烦角蛤聂通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程22定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a－均值2－方差曲线如右图：221()()exp22xafx12xao()fx3.3.3高斯随机变量怠琢湘肖钓沽炼巫思嘶券册缠惧崎嚣甲搓湃赁相囤酬名犁眺范蝴战获咯媚通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程23性质f(x)对称于直线x=a，即a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21()exp22xfx21xao()fx导彬待焙窑您八腔僚茧柴唯籍迅底横逢秒哇焉趟伯涂治獭俐镶己披泣惦祷通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程24正态分布函数该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其它特殊函数，用查表的方法求出：用误差函数表示：令则有及式中－误差函数，可查表求值。221()()()exp22xzaFxPxdz2/)(aztdtdz2202()xterfxedt)2(2121221)(2/)(2axerfdtexFaxt雾味朱彭朋迟羡君仿努逗韵碌宏豺圾缄亏奇聂沦迈蠕明日嘘耿迪院午畦袜通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程25用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当x2时，2211)(axerfcxF22()1()txerfcxerfxedt21()xerfcxex钱虎股潦艳收小隅屠费惭思鼠凹珠姐议继捞吮德兆局缩竣按嵌权漫韭拉搂通信原理第3章随机过程通信原理第3章随机过程26用Q函数