2012届高三数学一轮复习课件(新人教B版)：函数单调性与最值

•重点难点•重点：①函数单调性的定义．•②函数的最大(小)值．•难点：①函数单调性的证明．•②求复合函数单调区间．•知识归纳•一、单调性定义•1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于任意的x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．•2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．•(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：•①任取x1、x2∈D，且x1x2；•②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；•③依据差式的符号确定其增减性．•(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数．•二、单调性的有关结论•1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．•3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．•4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．•5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)0，则1fx为减函数，fx为增函数．•三、函数单调性的应用有：•(1)比较函数值或自变量值的大小．•(2)求某些函数的值域或最值．•(3)解证不等式．•(4)作函数图象．•四、函数的最大(小)值：•1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：•(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；•(2)存在x0∈Ⅰ使得f(x0)＝M.•称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．•2．求法：•(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．•误区警示•1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点•(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．•(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．•(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)f(x2)⇔x1x2(或x1x2)．•2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域•一、利用复合函数的单调性解题•对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增二、解题技巧给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论．如判断单调性须创造条件判断f(x1)－f(x2)的符号或fx1fx2与1的大小；判断奇偶性须设法产生f(－x)与f(x)的关系式等．判断单调性时，若关系式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数值的形式．•证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．•分析：证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明．本例证明f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，用导数证，只须证明f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，用定义证，由于f(x)有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号．[例1]已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．•证明：方法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，•不妨设x1x2，•则x2－x10，ax2－x11且ax10，•∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)0，•又∵x1＋10，x2＋10，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x1＋1x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋10，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．方法2：f′(x)＝axlna＋3x＋12，∵a1，∴当x－1时，axlna0，3x＋120，f′(x)0在(－1，＋∞)上恒成立，则f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.[例2]函数y＝f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(log12x)的单调减区间是()A．[1，2]B．[22，1]C．(0,1]和[2，＋∞)D．(－∞，1]和[2，＋∞)分析：欲求g(x)＝f(log12x)的单调递减区间，由于t＝log12x单调减，由复合函数的单调性知，只须求f(x)的单调增区间即可．解析：令t＝log12x，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在－∞，－12和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈－∞，－12时，x∈[2，＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(log12x)在(0,1]和[2，＋∞)上都是减函数，故选C.答案：C(2010·天津模拟)函数y＝log12(－x2－2x＋3)的单调递增区间为________．解析：y＝log12u为单调减函数，由－x2－2x＋30得－3x1，∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4在(－1,1)上单调递减，∴y＝log12(－x2－2x＋3)在(－1,1)上单调递增，故填(－1,1)答案：(－1,1)•A．bacB．cba•C．bcaD．abc[例3](08·天津理)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a＝fsin2π7，b＝fcos5π7，c＝ftan5π7，则()分析：比较a、b、c的大小，由于f(x)为增函数，所以实质是比较sin2π7，cos5π7和tan5π7的大小，利用诱导公式和单位圆不难获解．解析：由已知得a＝fsin4π14，b＝fcos5π7＝fsinπ2－5π7＝f－sin3π14＝fsin3π14，c＝ftan5π7＝f－tan2π7＝ftan2π7，注意到03π144π14＝2π7π2，且0sin3π14sin4π14＝sin2π7tan2π7，而函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因此有bac，选A.答案：A(09·辽宁)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)f13的x取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23解析：作出示意图可知：f(2x－1)f13⇔－132x－113，即13x23.故选A.答案：A[例4]已知函数f(x)＝axx≥03－ax＋4－2ax0对任意x1、x2∈R且x1≠x2，都有fx2－fx1x2－x10，则实数a的取值范围是________．分析：由fx2－fx1x2－x10知f(x)在R上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)上和(－∞，0)上都单调递增，且f(x)在[0，＋∞)的值恒大于f(x)在(－∞，0)上的值．解析：∵对任意x1、x2∈R且x1≠x2，都有fx2－fx1x2－x10，∴f(x)在R上为增函数，由f(x)＝ax在[0，＋∞)上单调增知a1，由f(x)＝(3－a)x＋4－2a在(－∞，0)上单调增知a3，再由f(x)在R上单调增知，a0(3－a)·0＋4－2a，∴a32，综上知32a3.答案：32，3•(1)若a0，则f(x)的定义域是________；•(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．(08·湖南理)已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．解析：(1)要使函数f(x)＝3－axa－1有意义，则3－ax≥0，∵a0，∴x≤3a.∴函数的定义域是(－∞，3a]．•(2)首先0a1时，a－10,3－ax为减函数，•∴f(x)在其定义域上为增函数，•其次a0时，a－10,3－ax为增函数，•∴f(x)在其定义域上为减函数，∵函数的定义域为[3a，＋∞)，(0,1][3a，＋∞)，∴f(x)在(0,1]上为减函数，又a1时，函数的定义域为(－∞，3a]，∵f(x)在其定义域上为减函数，∴欲使f(x)在(0,1]上为减函数，只须1≤3a，∴1a≤3，∴实数a的取值范围是a0或1a≤3.答案：(1)(－∞，3a](2)(－∞，0)∪(1,3]•(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；•(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．•解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数•证明如下：•令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得：•f(－x)＝－f(x)，[例5](文)已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，当且x0时，f(x)0，f(1)＝－23.•在R上任取x1、x2且x1x2，则x2－x10，•∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．•又∵x0时，f(x)0，•∴f(x2－x1)0，即f(x2)f(x1)．•由定义可知f(x)在R上为单调递减函数．•(2)∵f(x)在R上是减函数，•∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小．•f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×－23＝－2.∴f(－3)＝－f(3)＝2.即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.•(理)定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．•(1)证明：f(0)＝1；•(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)0；•(3)证明：f(x)是R上的增函数；•(4)若f(x)·f(2x－x2)1，求x的取值范围．•解析：(1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝f2(0)．又•f(0)≠0，∴f(0)＝1.•(2)证明：当x＜0时，－x＞0，•∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(－x)＝1fx＞0，又x≥0时f(x)≥1＞0，•∴x∈R时，恒有f(x)＞0.•(3)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.•∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．•∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1•又f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)．•∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．•(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，•∴3x－x2＞0，∴0＜x＜3.•(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步．点评：(1)解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．(3)也可以设x2＝x1＋t(t＞0)，f(x2)＝f(x1＋t)＝f(x1)·f(t)＞f(x1)；或者设x1＜x2，则fx2fx1＝fx2·f－x1fx1·f－x1＝fx2－x1f0＞1，又f(