2012届高三数学一轮复习课件(新人教B版)：曲线与方程(理)

•重点难点•重点：曲线与方程的概念及求曲线方程的步骤•难点：曲线的方程与方程的曲线概念的理解•知识归纳•1．曲线方程的定义•在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：•(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；•(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上；那么这个方程叫做曲线C的方程；这条曲线叫做方程的曲线．•2．求曲线方程的基本步骤：•(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；•(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；•(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；•(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；•(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．•3．由方程画曲线的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；②求曲线在两轴上的截距；③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．•4．交点与曲线系方程•求两曲线的交点，就是求这两条曲线方程组成的方程组的解．•过曲线f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ∈R)．•5．常见的轨迹•(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是•．•(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是•．•(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是•．•(4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与．连结两定点的线段的垂直平分线这个角的平分线以定点为圆心，以定长为半径的圆这条直线平行的两条直线•(5)平面内到两定点F1，F2距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹是•．•(6)平面内到两定点F1，F2距离差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹是•．•(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是•．以两定点为焦点，2a为长轴长的椭圆以两定点为焦点，实轴长为2a的双曲线以定点为焦点，定直线为准线的抛物线•误区警示•1．求曲线的方程注意以下三个问题：•(1)要适当建立坐标系，坐标系建得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算量.在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性.如中心对称图形、可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中有直角、可考虑将两直角边作为坐标轴等等.•(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环.应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式．•2．在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解的错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．•3．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．•一、求轨迹的常用方法•(1)直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x、y的等式得到轨迹方程，这种方法称之为直译法.用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略.•(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.•(3)代入法：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′、y′用x、y表示，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，代入法也称相关点法.•(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．•(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．•二、加强知识交汇的训练•向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练．[例1]方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是()•分析：A·B＝0⇔A＝0或B＝0，但要保证其有意义．本题中限制条件为根号下的被开方数x＋y＋1≥0.解析：由题可得x2＋y2－4＝0x＋y－1≥0或x＋y＋1＝0表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在其上面的部分，故选C.答案：C方程(x2－y2－1)x－y－1＝0的曲线形状大致是________(图中实线部分)()分析：AB＝0⇔A＝0B≥0或B＝0，千万不要错误的转化为A＝0或B＝0.解析：原方程等价于x2－y2－1＝0x－y－1≥0或x－y－1＝0，前者是双曲线位于直线下方部分，后者为直线，故选B.答案：B•[例2]已知直线l：＝1，M是直线l上的一个动点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点，求点P的轨迹方程．•分析：M是直线l上的动点，M的运动引起点P的运动，设M(x0，y0)、P(x，y)，只要用x，y表示x0，y0，即可将点M坐标代入l的方程获解．解析：设M(x0，y0)，P(x，y)，则A(x0,0)，B(0，y0)由条件知AP→＝13AB→，∴(x－x0，y)＝13(－x0，y0)，∴x0＝32xy0＝3y，∴点M在直线x4＋y3＝1上，∴32x4＋3y3＝1，即3x＋8y－8＝0.•点评：用代入法求曲线方程的步骤是：(1)分别设从动点为(x，y)，主动点为(x0，y0)；(2)用x，y表示x0，y0；(3)将x0，y0代入已知方程，化简即得所求轨迹方程．•过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方程为________．•分析：题中给出了3个条件A(a，b)，l1⊥l2，点M、点N，从不同的角度去分析三个条件之间的联系，将有不同的解法．解析：解法1：(直译法)当直线AM斜率存在时，设P(x，y)，则M(2x,0)，N(0,2y)，于是kAM＝ba－2x，kAN＝b－2ya.∵l1⊥l2，∴ba－2x·b－2ya＝－1.整理化简，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．当直线AM⊥x轴时，此时MN的中点(a2，b2)也满足上述方程．∴所求点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.解法2：(代入法)设P(x，y)，M(x1,0)，N(0，y1)，则x＝x12，y＝y12⇒x1＝2x，y1＝2y.∵l1⊥l2，∴(x1－a)2＋b2＋(y1－b)2＋a2＝x12＋y12.化简得ax1＋by1－a2－b2＝0.∴所求点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.解法3：(参数法)(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，依题意k1≠0，∵l1⊥l2，∴l2的斜率为－1k1.l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①l2的方程为y－b＝－1k1(x－a)，②在①中令y＝0，得M点的横坐标x0＝a－bk1，在②中令x＝0，得N点的纵坐标y0＝b＋ak1，设MN中点P的坐标为(x，y)，则x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1.消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③(2)当l1平行于y轴时，MN中点为(a2，b2)，其坐标满足方程③，所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.答案：2ax＋2by－a2－b2＝0•[例3](2010·北京)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.•(1)求动点P的轨迹方程；•(2)设直线AP与BP分别与直线x＝3交于点M、N.问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．•分析：(1)直接将坐标代入，依据“直线AP与BP的斜率之积等于－”列出等式，化简即得点P的轨迹方程．•(2)假设满足题设条件的点存在，则由S△PAB＝S△PMN可得|PA|，|PB|，|PM|，|PN|的关系式，设出P点坐标代入解方程，若有解，则存在点P，否则不存在．解析：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点对称，得B点坐标为(1，－1)．设P点坐标为(x，y)，则kAP＝y－1x＋1，kBP＝y＋1x－1，由题意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得：x2＋3y2＝4(x≠±1)．即P点轨迹方程为：x2＋3y2＝4，(x≠±1)．(2)因∠APB＋∠MPN＝180°，可得sin∠APB＝sin∠MPN，又S△APB＝12|PA||PB|sin∠APB，S△MPN＝12|PM||PN|sin∠MPN，若S△APB＝S△MPN，则有|PA||PB|＝|PM||PN|，即|PA||PM|＝|PN||PB|设P点坐标为(x0，y0)，则有：|x0＋1||3－x0|＝|3－x0||x0－1|，解得：x0＝53，又因x02＋3y02＝4，解得y0＝±339.故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时P点坐标为(53，339)或(53，－339)．•(2010·四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P到点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.•(1)求E的方程；•(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．解析：(1)设P(x，y)，则x－22＋y2＝2|x－12|，化简得x2－y23＝1(y≠0)．(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(4k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4)＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)，因此M点的坐标为(12，3y12x1＋1)，FM→＝(－32，3y12x1＋1)同理可得FN→＝(－32，3y22x1＋1)因此FM→·FN→＝(－32)×(－32)＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)，AB的方程为y＝x＋1，因此M点的坐标为(12，32)，FM→＝(－32，32)．同理可得FN→＝(－32，－32)．因此FM→·FN→＝(－32)×(－32)＋(－32)×32＝0.综上，FM→·FN→＝0，即FM⊥FN.故以线段MN为直径的圆过点F.•[例4]已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()•A．圆B．椭圆•C．双曲线的一支D．抛物线解析：如图所示，设椭圆方程：x2a2＋y2b2＝1，其中ab0.由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，连MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，则M轨迹为以F