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第一章计数原理1.2排列与组合1.22组合第2课时组合的综合应用[学习目标]1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题(重点)．2.能解决有限制条件的组合问题(重点、难点)．解组合应用题的总体思路(1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题．(2)对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，各类的交集等于空集．计算结果时，使用分类计数原理．(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理．1．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝0，1，2，3，4)，与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3)组成的图形中，矩形共有()A．100个B．60个C．48个D．20个解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形，所以，所求矩形共有C25C24＝10×6＝60(个)．答案：B2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C44＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有C25C24＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有C45＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．答案：D3．从0，1，2，π2，3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtanα＋b的倾斜角和截距，可组成________条平行于x轴的直线．解析：要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可．故满足条件的直线有C15＝5(条)．答案：54．凸十边形的对角线的条数为________．解析：从10个顶点中每次取出两个，得出所有线段条数，再减去边数即为所求结果，所以对角线条数为C210－10＝35.答案：355．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．解析：因为先从3个信封中选一个放标号为1，2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C24＝6(种)，余下的放入最后一个信封，所以共有3C24＝18(种)．答案：18类型1有限制条件的组合问题(自主研析)[典例1]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．解：(1)不同的选法有C512＝792(种)．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，不同的选法共有C29＝36(种)．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，不同的选法共有C59＝126(种)．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13种选法，再从另外的9人中选4人，有C49种选法，故不同的选法共有C13C49＝378(种)．(5)法一(直接法)可分为三类．第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种选法；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种选法；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种选法．故不同的选法共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)．法二(间接法)12人中任意选5人，共有C512种选法，甲、乙、丙三人都不参加，有C59种选法，所以不同的选法共有C512－C59＝666(种)．归纳升华(1)解答有限制条件的组合问题，要先明确限制条件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接分步处理；当限制条件中有“至多”“至少”的要求时，可分类求解或用间接法求解．(2)用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特殊位置优先安排的原则．[变式训练]某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720解析：根据题意，分2种情况讨论．若甲、乙只有一人参加，发言顺序有C12·C35·A44＝480(种)；若甲、乙两人都参加，发言顺序有C22·C25·A44＝240(种)，其中甲、乙相邻的发言顺序有C22·C25·A33·A22＝120(种)．则不同的发言顺序的种数为480＋240－120＝600.答案：C类型2组合中的分组、分配问题[典例2]有6本不同的书按下列分配方式分配，则分别有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解：(1)分三步．先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下的3本全选有C33种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，考虑再分配问题．因此，分配方式共有C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三组，则应是C26C24C22种分法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，该种分法记为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况只能作为一种分法，故分配方式有C26·C24·C22A33＝15(种)．(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式C26·C24·C22A33·A33＝90(种)．归纳升华(1)解决这类问题的关键是分清分组问题还是分配问题．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分为n组，利用分步乘法计数原理求出结果后再除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，按照分步乘法计数原理．(3)分配问题属于“排列”问题，可以按照逐个分配求解，也可以先分组再分配．[变式训练]3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．360B．288C．216D．96解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有C23A22A33A24＝432(种)，其中男生甲站两端的排法有C23A22A23A22A12＝144(种)，故符合条件的排法共有432－144＝288(种)．答案：B类型3排列组合的综合问题[典例3]从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A55A33＝14400(个)．归纳升华1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题；(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．[变式训练]用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有________个．解：法一把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2，4，6，8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．根据分类加法计数原理，符合要求的数共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11040(个)．法二如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故符合条件的数共有C35C25A55－C35C14A44＝11040(个)．答案：11040类型4几何中的组合问题(互动探究)[典例4]已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，则这9个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？解：(1)可分三类：第一类：平面M中取一点，N中取两点，最多可确定C14C25个；第二类：平面M中取两点，N中取一点，最多可确定C24C15个；第三类：平面M和平面N，共2个．故最多可确定平面C14C25＋C24C15＋2＝72(个)．(2)法一分三类．第一类：平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定C14C35个．第二类：平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定C24C25个．第三类：平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定C34C15个．故最多可确定平面C14C35＋C24C25＋C34C15＝120(个)．法二C49－C45－C44＝120(个)．[迁移探究1]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解：我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准．第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，不同的三角形共有C24C18＝48(个)；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，不同的三角形共有C14C28＝112(个)；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，不同的三角形共有C38＝56(个)．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．[迁移探究2]空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？解：这个问题可分四类加以考虑．①5个共面点确定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7C25个平面；③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定5C27个平面；④7个点中任何3个点确定C37个平面．所以总共确定的平面共有1＋7C25＋5C27＋C37＝211(个)．归纳升华(1)要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合模型加以处理．(2)处理几何中的计数问题的基本思路有两种：一是考虑用特殊元素去分类，用直接法求解；二是间接法，在所有的取法中，去掉不符合题意的取法(如共线三点不能确定三角形，共面四点不能确定四面体)．1．无条件限制的组合应用题，其解题步骤是：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题，其解题思路是将限制条件视为特殊的元素和特殊位置．一般来讲，特殊的要先满足，其余的则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)“至多”与“至少”问题，通常采用排除法求解，也可以用直接法．(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．