信号与系统第二章连续时间系统的时域分析

第2章连续信号与系统的时域分析第2章连续时间系统的时域分析主讲教师：卢亚玲第2章连续信号与系统的时域分析系统分析的任务:在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析:是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。系统时域分析法包含两方面内容：微分方程求解；利用单位冲激响应求系统输出零状态响应。第2章连续信号与系统的时域分析2.1系统的数学模型及系统响应的时域求解(微分方程建立、复习解法、重点说明解的物理含义)2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应的物理含义2.3卷积及其性质2.4用算子符号表示微分方程第2章连续信号与系统的时域分析§2.1系统数学模型的建立和微分方程求解2.1.1、R.L.C上的e(t)~i(t)1.电阻Ri(t)e(t)数学模型)()()(1)(tRiteteRti第2章连续信号与系统的时域分析2.电感i(t)e(t)L数学模型deLtidttdiLtet)(1)()()(第2章连续信号与系统的时域分析3.电容i(t)e(t)C数学模型diCtedttdeCtit)(1)()()(第2章连续信号与系统的时域分析12ytftftf1(t)f2(t)12ytftft4、求和f1(t)f2(t)12ytftft第2章连续信号与系统的时域分析5、分支123ftftftf1(t)f2(t)f3(t)第2章连续信号与系统的时域分析2.1.2LTI连续时间系统的数学模型一、电路微分方程的导出：列方程的基本依据：1、元件特性约束：ＶＣＲ方程。2、网络拓扑约束：KCL、KVL方程。列方程的基本方法：节点分析法和回路分析法。第2章连续信号与系统的时域分析例2-1、图2-1所示为RLC并联电路，求并联电路的端电压与激励源间的关系)(tv)(tis)(tis)(tvRRiLiCiLC图2-1)(1)(tvRtiRdvLtitL)(1)(dttdvCtiC)()(第2章连续信号与系统的时域分析对整个电路，根据基尔霍夫电流定律有)()()()(titititiSCLR代入它们的数学表达式并化简得到)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS电路的数学模型是常系数的微分方程结论：LTI系统可以用常系数的微分方程来描述第2章连续信号与系统的时域分析二、LTI系统的输入-输出方程的一般形式tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn0111101111............式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。第2章连续信号与系统的时域分析什么是起始状态、初始条件响应区间：激励信号加入之后系统状态变化的区间。一般把激励加入的时刻定为t=0所以系统的响应区间为t0注意：这就是系统响应r(t)的定义域第2章连续信号与系统的时域分析起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态)]0(),...,0()0([)0(11)(rdtdrdtdrrnnk、称为系统的起始状态（0-状态）注意：时刻点是0-包含系统的全部过去信息第2章连续信号与系统的时域分析初始条件：系统在激励信号加入后瞬间有一组状态)]0(),...,0()0([)0(11)(rdtdrdtdrrnnk、称为系统的初始条件（0+状态）注意：时刻点是0+，它是系统响应区间内的一组状态，所以用它来确定完全响应中的常数第2章连续信号与系统的时域分析三微分方程的解（一）、经典法：（P45—47）全解分解：全解=齐次解+特解方法：Step1:由特征方程求特征根得齐次解通式；Step2:由输入定特解；Step3:由初始条件定通解的常数,求出全解。)()()(trtrtrph第2章连续信号与系统的时域分析step1.齐次解齐次解满足齐次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0得到n个根λ1，λ2，…，λn第2章连续信号与系统的时域分析(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解1()inthiiytce(2―11)(2―12)n阶微分方程的齐次解的系数n个系数由初始条件确定nitiitiihiecetcty111)(第2章连续信号与系统的时域分析例2―2求微分方程的齐次解。y″(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)解：由特征方程：λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t例2―3求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2te-t第2章连续信号与系统的时域分析Step2:特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解，具体步骤如下：(1)由激励查表2-1(书上P46表2-2)试选特解(2)将激励代入原方程右边，整理得自由项；并将试选特解代入原方程左边(3)根据方程两端对应幂次的系数应相等，即可解出中待定系数Pi第2章连续信号与系统的时域分析表2―1激励函数及所对应的解第2章连续信号与系统的时域分析例2―4若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。解:查表2―1，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解1021010102()()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt将特解yp(t)代入微分方程，有第2章连续信号与系统的时域分析Step3:完全解是齐次解与特解之和（1）如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为1()()intipiytceyt(2―15)（2）当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根时，方程的全解为111()()inttiipijytctecejyt(2―16)第2章连续信号与系统的时域分析如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为式(2―15)，将给定的初始条件分别代入到式(2―15)及其各阶导数，可得方程组y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)…y(n-1)(0)=λ1n-1c1+λ2n-1c2+…+λnn-1cn+y(n-1)p(0)解方程组，由此可求出要求的待定常数ci(i=1,2…n)第2章连续信号与系统的时域分析例2―25求微分方程r″(t)+3r′(t)+2r(t)=f(t)的齐次解,若输入激励f(t)=e-t,试求微分方程的特解。设求系统的全解解：由特征方程解得特征根因此该方程的齐次解02322,121ttheAeAtr221)(0)0()0('rr第2章连续信号与系统的时域分析查表2―2（P46），因为f(t)=e-t中α=-1，与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解tptetr)(所以系统的全响应为)()()()()(221tuteeAeAtrtrtrtttph第2章连续信号与系统的时域分析用初始条件确定常系数：由初始条件得到一组方程组0)0()0('rr01200)()0('0)0(212102210221AAAAteeAeAdtdrteeAeArtttttttt即解得：1121AA全解：)()()(2tuteeetrttt第2章连续信号与系统的时域分析经典法解的意义：)()()(trtrtrph)())((1tutreApnitii系统的自由响应系统的强迫响应特征根称为系统的固有频率或自由频率、自然频率，它决定了自由响应的全部形式只与激励函数的形式有关表示解区间第2章连续信号与系统的时域分析由起始状态(0-状态)求初始条件(0+状态)方法一：根据元件特性约束和网络拓扑约束与换路定理求初始条件P57例2-6第2章连续信号与系统的时域分析方法二：冲激函数匹配法当系统已有微分方程时使用该法。冲激匹配法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。第2章连续信号与系统的时域分析例2-6已知系统微分方程式为)('3)(3)('ttrtr给定0-状态起始值r(0-),确定它的0+状态r(0+)解：由于动态方程式右侧存在冲激信号δ’(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧r’(t)也必须含有δ’(t)。所以设)()()(')('tuctbtatr第2章连续信号与系统的时域分析将r′(t)代入方程得到)('3)(3)(3)()()('ttubtatuctbta解得：a=3,b=-9,c=27所以)()0()0(tubrr有：)0(9)(9)0()0(rturr有：第2章连续信号与系统的时域分析该方法要注意两个问题：第一，注意△u(t)的意义1.时刻为0-到0+时刻；2.在这段时间具有单位阶跃信号的函数特点，所以其微分是单位冲激信号，而其积分第二，冲激函数匹配法的关键是设出响应最高阶的表达式：响应的最高阶=方程右端最高阶及其依次积分项的线性叠加。冲激函数匹配法也是对微分方程右端含有冲激函数或其各阶导数的方程求解的方法。0)(1)()(00tdtdtu第2章连续信号与系统的时域分析（二）零输入响应和零状态响应)()()(trtrtrzszi系统的全解分解成：零输入响应：（zero—inputresponse）没有外加激励信号的作用下，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。Thezero—inputresponseistheresponsethatexistsduetoinitialcondition(orinitialstate)alonewiththeinpute(t)=0.第2章连续信号与系统的时域分析零输入响应的解的形式：nitziiziieAtr1)(它是齐次解的一部分，其常系数由起始状态确定0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCzinzinzinnzinn零输入响应满足方程及起始状态的解。第2章连续信号与系统的时域分析零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用下（起始状态为零），由系统外加激励信号所产生的响应。Thezero--stateresponsecomponentduetosourcesorinputs.零状态响应满足方程)()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及起始状态1,,1,0,0)0(nkrk第2章连续信号与系统的时域分析零状态响应的解的形式：)()(1tBeAtrnjtzsjzsj它含有齐次解的一部分及强迫响应。零状态响应