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第一章1.21.2.2第二课时组合的综合应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时组合的综合应用1．2.2组合[例1]现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？[思路点拨]分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．[精解详析](1)从2件次品中任取1件，有C12种抽法．从8件正品中取2件，有C28种抽法．由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有C12×C28＝56种．(2)法一：含1件次品的抽法有C12×C28种，含2件次品的抽法有C22×C18种．由分类加法计数原理知，不同的抽法共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64种．法二：从10件产品中任取3件的抽法有C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少有1件次品的抽法为C310－C38＝64种．[一点通]解答有限制条件的组合问题的基本方法：(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C12C34种选法．故共有C44＋C12C34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．答案：A2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种B．112种C．20种D．56种解析：按分配到甲宿舍的人数分类，则不同的分配方案共有C27C55＋C37C44＋C47C33＋C57C22＝112种．答案：B[例2]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[思路点拨]解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．[精解详析]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．[一点通]解决与几何图形有关的组合问题时，要善于利用几何图形的有关性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题求解．3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．解析：正方体的8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C48－12＝58个．答案：584．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.答案：32[例3](10分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？[思路点拨]男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．[精解详析]分两类：第一类，甲被选中，共有C25C24C14A44种分派方案；分)第二类，甲不被选中，共有C35C24A55种分派方案．分)根据分类加法计数原理，共有C25C24C14A44＋C35C24A55＝5760＋7200＝12960种分派方案．(10分)[一点通]本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A．40个B．120个C．360个D．720个解析：先选取3个不同的数，有C36种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．答案：A6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：C解有限制条件的排列组合应用题的基本方法(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．点击下图进入“应用创新演练”