恒温箱数学建模

全国第X届研究生数学建模竞赛题目恒温箱温度变化的数学建模摘要恒温箱是航空、汽车、家电、科研等领域必备的测试设备，用于测试和确定电工、电子及其他产品及材料进行高温试验的温度环境变化后的参数及性能。。因此,对温度进行测量和控制也是科学实验和工业生产中经常需要解决的重要问题。随着计算机技术和控制理论的发展,以及对产品质量要求的提高,人们对高精度的温度测量和控制的要求也越来越高。电加热设备温度特性复杂,其温度的测量和控制亦显得尤为重要和复杂。因此，本问题具有很强的研究背景和实际应用价值。为描述保温箱温度的变化规律，文章首先对环境温度进行三次样条插值，将环境温度的采样间隔变成和恒温箱一样，也就是一分钟。然后根据能量平衡原理和热力学知识列出恒温箱和隔热层从室温开始加热这一阶段的热量平衡方程组，方程组一共有6个未知量，取78个分钟的数据带入方程组中得到156个方程式，用matlab求解这个超定方程组，求得6个未知量的值，也就是恒温箱和隔热层的各项参数值。随后将剩余两个分钟的数据带入求得的方程组中进行检验，误差在接受范围内，说明建模合理。接下来，将热量平衡代数方程组变为功率平衡微分方程组，在考虑恒温箱控制条件的情况下用龙格库塔法进行求解，得到接下来恒温箱和隔热层的温度变换规律，画出温度变换曲线。最后对恒温箱的性能进行了评价。关键词：恒温箱隔热层热学平衡方程式超定方程组龙格库塔法参赛队号队员姓名陈文哲管俊孙鹏伟XX大学承办参赛密码（由组委会填写）恒温箱温度变化的数学建模一、问题重述恒温箱是航空、汽车、家电、科研等领域必备的测试设备，用于测试和确定电工、电子及其他产品及材料进行高温试验的温度环境变化后的参数及性能。。因此,对温度进行测量和控制也是科学实验和工业生产中经常需要解决的重要问题。随着计算机技术和控制理论的发展,以及对产品质量要求的提高,人们对高精度的温度测量和控制的要求也越来越高。电加热设备温度特性复杂,其温度的测量和控制亦显得尤为重要和复杂。因此，本问题具有很强的研究背景和实际应用价值。模型要求热源即加热器以恒定的速率加热恒温箱。恒温箱体内装有一个自动的温度控制器，在温度高于68.2华氏度会自动关闭加热系统,在温度低于67.8华氏度时会自动打开加热系统，但温度控制器读取温度有时间间隔，设定温度控制器读取温度有时间间隔为每1分钟1次。根据上述分析，本文拟解决如下问题：（1）、根据已有的资料数据，利用所学知识及相关参考资料，通过研究温度传播规律,确定加热方案,并建立恒温箱系统的热数学模型。；（2）、建立恒温箱体的温度变化模型。并根据小型试验数据及相关数学、物理方法，验证模型准确度和适用性；（3）、对恒温箱产品的质量优劣做出评价；（4）、对建立的模型进行误差分析，通过模型参数调节优化模型效果，并根据修改模型预测最有效数学模型。根据误差原因分析等对未来需要进行的试验和研究工作提出了一些建议；（5）、根据相似准则设计相关实验，对已建立模型进行推广和扩充。以达到理论-实验-工程三者的互相验证。二、基本假设（1）、环境温度不受热源、恒温箱和隔热层的影响；（2）、忽略空气与恒温箱及隔热层之间的对流换热、热辐射；（3）、所有的导热过程仅考虑稳态导热；（4）、所有物体的物性不随温度变化；（5）、环境温度始终低于67.8华氏度；（6）、恒温箱体与箱顶隔热层温度始终不低于外界环境温度；三、符号约定1c恒温箱比热容1m恒温箱质量boxTt时间内恒温箱温度增量1恒温箱箱体热导率boxT恒温箱某一时刻温度airT环境温度1A恒温箱与外界环境的接触表面积1恒温箱体的厚度gereT隔热层某时刻温度2A恒温箱体和隔热层的接触表面积q热源t时间内所释放的热量2c隔热层的比热容2m隔热层的质量gereTt时间隔热层温度的增量2隔热层的热导率2隔热层的厚度6四、模型的建立与求解基本理论（1）热传导只要有温差,热量就会自发地从高温物体传到低温物体,所以传热是一种最常见的物理过程。实际上,热是一种扩散效应,物体将能量通过热的方式释放出来,因此热其实是能量的传递。热的传递方式主要包括以下三种:热传导、热对流和热辐射。在对恒温箱的数学建模中，我们忽略热对流和热辐射，仅考虑热传导的主要作用。热传导是指当物体内具有温差或者不同温度的物体相互接触时,在各部分之间没有发生相对宏观位移情况下,通过物质微观粒子(分子、原子或自由电子)的热运动而进行的热量传递。导热是固体内唯一的热量传递方式;在气体和液体中,尽管也同样存在着导热现象。图2恒温箱壁面导热示意图如图所示恒温箱壁，一块厚度为，横截面积为A的平板，两侧表面分别维持着均匀温度1tw和2tw。实验表明：单位时间内从表面1传递到表面2的热量Q与壁面间的温差12wwttt以及导热面积A成正比，而与平板的厚度成反比，即tQ=A方程中的比例系数反映了材料导热能力的大小，叫做导热系数或者热导率，单位是W(mK)。导热率是一个物性参数，不同材料的导热率不同，即使是同一种材料，在不同温度下也具有不同的热导率。为了确保恒温箱内的光谱仪能够安全可靠的工作,我们需要将恒温箱内多余的热量排放到外面，从而保证恒温箱内的光谱仪能够获得适宜的工作温度，这是系统级热设计。总的来说,恒温箱的热设计可以分为3个主要方面。第一：组件级热设计，即对元器件级的热设计。第二：封装级设计，即对于电子控制模块、散热设备、PCB板的热设计。第三：系统级设计，即对于恒温箱内胆及外壳的热设计。系统级的热设计主要研究电子设备所处环境的温度对其产生的影响，环境温度是系统级热分析的重要边界条件，其热设计是采取措施控制环境温度，使电子设备在适宜的温度环境下进行工作。随着电子技术的发展，尤其是微电子技术的发展，电子元器件和设备的尺寸正迅速缩小，而功率却一直在增大，使得单位体积容纳的热量越来越多，特别是在恶劣环境下电子产品以及国防电子仪器要求必须达到良好的电磁兼容性能及三防性能等。（2）三次样条差值将环境温度每隔15min采集到的数据利用三次样条差值成每隔1min的数据。算法原理：设在区间[,]ab上给定1n个节点01()inxaxxxb，在节点ix处的函数值为()(0,1,,)iiyfxin。若函数()Sx满足如下三条：（1）在每个子区间1[,](1,2,,)iixxin上，()Sx是三次多项式；（2）()(1,2,,)iiSxyin；（3）在区间[,]ab上，()Sx的二阶导数''()Sx连续。则称()Sx为函数()yfx在区间[,]ab上的三次样条插值函数。子区间1[,](1,2,,)iixxin上的()Sx的表达式为：3321111211()()()()666(),6iiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxhxxSxMMyMhhhhxxyMxxxh关于参数iM的方程组（三弯矩方程组）：1111111111112,1,2,,1,1,6()6[,,]iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMMMdinhhhxxhhhhyyyydfxxxhhhh牛顿插值多项式：001001010101101011()[][,]()[,]()()[,,,]()()()[,,,]()()().nkknnNxfxfxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxx构造牛顿插值多项式首先列出差商表，进而由差商表写出牛顿插值多项式。n阶差商为：01011010[,,,][,,,][,,,]nnnnfxxxfxxxfxxxxx零阶差商和一阶差商：111[][][]()[,]iiiiiiiiifxfxfxyfxfxxxx（3）龙格库塔法算法原理：考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。用类似上述的处理方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。对于高阶常微分方程的初值问题：()'''(1)''(1)(1)000,,,(,,,,,),(),()()mmmmyfxyyyyaxbyayyayyay将其转化为一阶微分方程组求解：'12'23'1'12'(1)10200(,,,,)(),(),,()mmmmmmyyyyyyyfxyyyyayyayyay标准的四级四阶龙格—库塔法的向量形式：1123412132431()6(,)11(,)2211(,)22(,)iiiiiiiiiiyyKKKKKhfxyKhfxhyKKhfxhyKKhfxhyK其分量形式：,1,12341121112121221222312411322331()6(;,,,,)(;,,,)1,22222(;,,,)2222(;,,,)jiijjjjjjjiiininjjiiininjjiiinijjiiininyyKKKKKhfxyyyKKKhKhfxyyyjKKKhKhfxyyyKhfxhyKyKyK,,n（4）超定方程的最小二乘解小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。设G=(giu)m×n，当mn时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r=b–GX的2-范数达取极小值的解，即22*||||min||||GXbGXbmRX超定方程组的最小二乘解是指正规方程组GTGX=GTb的解。如果系数矩阵(GTG)可逆，则正规方程组有唯一解。此时，最小二乘解可以形式地写为如下形式X=(GTG)-1GTb两种常用的方法如下1．用对称矩阵的三角分解法解正规方程组GTGX=GTb；记A=GTG，则A是对称矩阵，由三角分解A=LDLT，其中L是下三角矩阵，D是对角矩阵。将这一算法写过三个过程：①解下三角方程组：LY1=GTb；②解对角方程组：DY2=Y1；③解上三角方程组：LTY3=Y22．用矩阵的QR分解直接求解超定方程组由QR分解（正交三角分解）G=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。将QR分解代入最小二乘解表达式中，得X=(RTQTQR)-1(QR)Tb=R-1QTb由此可知，用分解方法求超定方程组的最小二乘解只需求解上三角方程组RX=QTb模型1热源给恒温箱体加热，恒温箱体给箱顶隔热层加热；恒温箱及箱顶隔热层向外界空气散热。此时，恒温箱未达到68.2华氏度，恒温箱体温度高于箱顶隔热层，如图恒温箱体箱顶隔热层热源图3模型1恒温箱热量传播方向图模型2恒温箱达到68.2华氏度后，箱顶隔热层未达到67.8华氏度，热源停止加热；恒温箱体给箱顶隔热层加热，恒温箱及箱顶隔热层