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随堂讲义专题九思想方法专题第四讲化归与转化思想化归与转化的思想在2016年高考中必然考到，较大的可能是出现在立体几何的大题中，可将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，若出现在解析几何大题中，应将解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．例1某厂2012年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．无法确定解析：每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，每月的投入资金组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1＝b1，且a12＝b12，比较S12与T12的大小．若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列．等比数列的通项公式bn＝a1qn－1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列．在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi，则S12＞T12，即M＞N.答案：A把一个原本是求和的问题，转化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的．在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新．1．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6．解析：由f(x)＝2x和f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4知a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝log2f(a1)＋log2f(a2)＋…＋log2f(a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5×2＝－6.例2在三棱锥PABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA，BC的公垂线ED＝h.求证：三棱锥PABC的体积V＝16l2h.思路点拨：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．证明：如图，连接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC＝D，可得PA⊥截面ECB.这样，截面ECB将原三棱锥切割成两个分别以ECB为底面，以PE，AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高PE＋AE＝PA＝l，所以VPABC＝VPECB＋VAECB＝13S△ECB·AE＋13S△ECB·PE＝13S△ECB·PA＝13·12BC·ED·PA＝16l2h.辅助截面ECB的添设使问题转化为已知问题，迎刃而解．2．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值分别是(B)A．V＝32，n＝2B．V＝643，n＝3C．V＝323，n＝6D．V＝16，n＝4解析：根据三视图，可知此几何体为一个四棱锥，其体积为643.例3在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．160B．240C．360D．800思路点拨：本题要求(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用两种解法进行转化．解析：解法一直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x2＋3x＋2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2＋3x＋2)5＝(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C15·(3x)·C44·24＝5×3×16x＝240x，所以应选B.解法二利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)＝(x2＋2)＋3x＝(x2＋3x)＋2＝(x＋1)(x＋2)＝(1＋x)(2＋x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)转化，可以发现只有C55(3x＋2)5中会有x项，即C45(3x)·24＝240x；②如利用x2＋3x＋2＝(x2＋2)＋3x进行转化，则只C15(x2＋2)4·3x中含有x一次项，即C15·3x·C44·24＝240x；③如利用x2＋3x＋2＝(x2＋3x)＋2进行转化，就只有C45·(x2＋3x)·24中会有x项，即240x；④如选择x2＋3x＋2＝(1＋x)(2＋x)进行转化，(x2＋3x＋2)5＝(1＋x)5×(2＋x)5展开式中的一次项x只能由(1＋x)5中的一次项乘以(2＋x)5展开式中的常数项加上(2＋x)5展开式中的一次项乘以(1＋x)5展开式中的常数项后得到，即为C15x·C5525＋C15·24·x·C05·15＝160x＋80x＝240x.故选B.答案：B化归与转化的意识可以帮我们把未知转化为已知．3．设，则二项式ax－1x4的展开式的常数项是(A)A．24B．－24C．48D．－48例4若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．解析：∵x2＋px＞4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)＞0，只要有g（0）＞0，g（4）＞0，∴x的取值范围为{x|x＞3或x＜－1}．在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往往行不通，这时若能变更主元，转变其他变量在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行转化，使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向低维的转化，解题简单易行．4．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(D)解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即F′(x)＞0，F(x)是增函数，则答案A、C错，当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，即F′(x)＜0，F(x)是减函数，则答案B错．故选D.1．化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则．将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐化原则．化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．(4)直观化原则．将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．(5)正难则反原则．当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则的本质有深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系．“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．3．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，也可以从几何的角度去认识问题．