11微分方程稳定性分析

微分方程稳定性分析微分方程模型在模型分析中的主要问题之一——稳定性分析用微分方程方法建立的动态模型问题模型分析中的一个重要问题是：当时间充分长后，动态过程的变化趋势是什么？微分方程模型中,方程(组)+初始条件→解初始条件的作用在于确定解,它的微小变化会产生不同的解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影响作用.问题是这种对解的发展性态的影响作用是长期存在的,还是当时间充分大以后,影响作用会“消逝”?（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义有时候,初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变大后,产生显著的差异,这时称系统是不稳定的;有时候,初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大后而消失,这时称该系统是稳定的.在实际问题中,初始状态不能精确地而只能近似地确定,所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的实际意义。也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关紧要的。微分方程稳定性理论可以使我们在很多情况下不求解方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是稳定或不稳定的结论。研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于该方程解有无解析表达式的研究兴趣。在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方程是一类称为自治系统的方程。自治方程是指方程中不显含自变量t的微分方程，例如))(,)(()('))(,)(()(',212211txtxgtxtxtxftx二阶方程))(()('txftx一阶方程自治方程中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的最终趋势值只能是该方程的平衡点。))(()('txftx一阶方程的平衡点是指代数方程0))((txf的根（可能不止一个根）；))(,)(()('))(,)(()('tytxgtytytxftx二阶方程的平衡点是指代数方程组0),(0),(yxgyxf的解（可能不止一组解）。0x},{00yx如果存在某个邻域，使微分方程的解x(t)从这个邻域内的某个点x(0)出发，满足:,)(lim0xtxt则称微分方程的平衡点是稳定的；))(()('txftx0x如果存在某个邻域，使微分方程的解{x(t)，y(t)}从这个邻域内的某个点{x(0)，y(0)}出发，满足:,)(lim,)(lim00ytyxtxtt则称微分方程的平衡点是稳定的。))(,)(()('))(,)(()('tytxgtytytxftx},{00yx上述一阶自治方程和二阶自治方程组解的稳定性理论结果可简介如下：非线性方程(一个方程)情况形式:x’(t)=f(x(t))平衡点:解f(x)=0,得x=x0.注意:有时该方程的根不止一个.稳定意义:当t→∞时,如x→x0,则称x0是稳定的平衡点;否则称x0是不稳定平衡点.txfecxtx)(000)(由此,当f’(x0)＜0时,x→x0;当f’(x0)＞0时,x→+∞.(c)一阶非线性问题的稳定性结论:根据有关数学理论,一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶线性问题结论完全相同..研究方法:(a)作f(x)的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式):f(x)≈f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f’(x0)(x-x0);(b)线性问题研究:求解x’=f’(x0)(x–x0),解得非线性方程(两个方程)组情况平衡点:解f(x,y)=0,得x=x0g(x,y)=0,y=y0.y’(t)=g(x(t),y(t))形式:x’(t)=f(x(t),y(t)),稳定意义:当t→+∞时,如x→x0,y→y0,则称(x0,y0)是稳定的平衡点;否则称(x0,y0)是不稳定平衡点.上面的方程组有时可能不止一组解.研究方法:(a)作f(x,y)与g(x,y)的线性替代（利用二元函数的泰勒展开式）:f(x,y)≈f’’x(x0,y0)·(x-x0)+f’y(x0,y0)·(y-y0);g(x,y)≈g’x(x0,y0)·(x-x0)+g’y(x0,y0)·(y-y0).(b)线性问题研究:记a1=f’x(x0,y0),a2=f’y(x0,y0),b1=g’x(x0,y0),b2=g’y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1b2-a2b1,并无妨设x0=0,y0=0;求解)()()(2143212121当，可解得ttttecectyecectx)()()()()(21432111当，或ttetcctyetcctx其中λ1,λ2为特征方程r2+pr+q=0的两根.这里λ1+λ2=-p,λ1•λ2=q)()()('2121tytxWbbaaAWAtW，其中，，)()()(')()()('2121tybtxbtytyatxatx或写为(1)当p＞0,q＞0时,如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,λ1•λ2=q,推得λ1与λ2均为负数，故当t→+∞时，eλ1t与eλ2t均趋于零，系统稳定;如果p2–4q＜0，由λ1+λ2=-p,λk=α±βi中α为负数（k=1，2），故当t→+∞时，eλkt=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）也均趋于零，系统仍为稳定的；(2)当p＜0时,如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,可推出λ1与λ2中至少有一个为正数，故当t→+∞时，eλ1t与eλ2t中至少有一个趋于+∞，系统不稳定;如果p2–4q＜0，仍由λ1+λ2=-p,可推出λk=α±βi（k=1，2）中α为正数，故当t→+∞时,eλkt=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）趋于+∞，仍可推出系统不稳定。(3)当q＜0时,此时必定有p2–4q≥0，此时系统也必不稳定。由λ1•λ2=q,可推出λ1与λ2中至少有一个为正数，故当t→+∞时，eλ1t与eλ2t中至少有一个趋于+∞，当p＞0,q＞0时,相应的平衡点是稳定的；)()()()(')()()(')()()('21212121ADetqATrpbbaaAtWAtWtybtxbtytyatxatx，，或，当p＜0或当q＜0时,相应的平衡点是不稳定的。综述之，在线性方程组非临界（p≠0)情况中(C)非线性问题的稳定性结论:(i)若相应的线性问题是稳定的,则对应非线性问题也是稳定的；(ii)若相应的线性问题是不稳定的,则对应非线性问题也是不稳定的.在非临界情况下（p≠0)，