流体力学第四章课件

1第四章量纲分析和相似理论第四章量纲分析和相似理论对于一个复杂的流动现象进行实验研究，实验中的可变因素很多，另外受实验条件的限制，多数不可能在实物上进行。因此，在进行一项实验时，就会碰到诸如：如何更有效地设计和组织实验，如何正确处理实验数据，以及如何把模型实验结果推广到原型等一系列问题。本章的量纲分析和相似理论为这些问题的解决提供了理论依据。量纲分析和相似理论不仅在流体力学中有广泛的应用，而且也广泛地应用于其它力学、传热传质、燃烧等许多物理化学过程的研究中。故掌握量纲分析和相似理论，对于一个自然科学工作者来说是十分必要的。2第四章量纲分析和相似理论量纲是物理量的类别和本质属性。同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲，例如长度可以用米、厘米、英尺、英寸等不同单位度量，但作为物理量的种类，它属于长度量纲。其它物理量，如时间、速度、密度、力等也各属一种量纲。这里约定在物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲，例如速度量纲表示为dimv。由于许多物理量的量纲之间有一定的联系，在量纲分析中常需选定少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其它的物理量的量纲就都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。基本量纲应当是互相独立的，即不能互相表达，在流体力学中常用长度—时间—质量(L-T-M)为基本量纲。§4-1量纲分析的概念和原理一、量纲3第四章量纲分析和相似理论长度—时间—质量(L-T-M)作为基本量纲时有如下的导出量纲:对于任何物理量(如以A表示)的量纲可写作速度加速度密度力压强dtdludtduadVdm22dtldmmaFdAdPp1dimLTu2dimLTa3dimML2dimMLTF21dimTMLpTMLAdim(4-1)4第四章量纲分析和相似理论在量纲分析中，把一个物理过程当中那些彼此互相独立的物理量称为基本量，其它物理量可由这些基本量导出，称为导出量，基本量与导出量之间可以组合成无量纲量，无量纲量具有如下的特点:①量纲表示式中的指数均为零；②没有单位；数值与所采用的单位制无关，故无量纲量也称为无量纲数。设A、B、C为三个基本量，它们成立的条件是Ax、By、Cz的幂乘积不是无量纲量，即不能找到不全为0的x、y、z来满足下式二、无量纲量1)(dim)(dim)(dim000TMLCBAzyx(4-2)5第四章量纲分析和相似理论(4-3)321)(dim)(dim)(dimbbbzyxTMLCBA而满足下式，且b1、b2、b3不全为0。采用式(4-1)来表示物理量A、B、C的量纲333222111dimdimdimTMLCTMLBTMLA代入式(4-2)和(4-3)，对照两边的指数，可写出如下方程000321321321zyxzyxzyx(4-4)6第四章量纲分析和相似理论332123211321bzyxbzyxbzyx方程组(4-4)和(4-5)的系数行列式0321321321D(4-6)因此变量A、B、C是互相独立的，它们可以作为基本变量。(4-5)是使方程组(4-4)为全零解的充分必要条件，也是方程组(4-5)存在一组非零解的充分必要条件。7第四章量纲分析和相似理论三、物理方程的量纲一致性在自然现象当中，互相联系的物理量可构成物理方程。物理方程可以是单项式或多项式，同一方程中各项又可以由不同量组成，但是各项的单位必定相同，量纲也必然一致；另一方面，由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除等式两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程，但所表达的物理现象与原方程相同，这一点极为重要，这也是量纲分析的理论依据。例如，动能方程221mvE可改写为212mvE8第四章量纲分析和相似理论理想流体伯努利方程gvagpzgvagpz222222221111a1=a2=1，也可改写为12221221212121vvvppgvzz可以验证各项也都是无量纲量。9第四章量纲分析和相似理论相似的概念最早出现于几何学中，即假如两个几何图形的对应边成一定的比例，那么这两个图形便是几何相似的。可以把这一概念推广到某个物理现象的所有物理量上。例如，对于两个流动相似，则两个流动的对应点上同名物理量(如线性长度、速度、压强、各种力等)应具各自的比例关系。分类说明的话，就是应满足两个流动的几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件的相似。§4-3流动相似性原理为了便于理解和掌握相似的基本概念，定义Cq表示原型(prototype)与模型(model)对应物理量q的比例，称之为比尺，即mpqqqC10第四章量纲分析和相似理论一、几何相似如果两个流动的线性变量间存在着固定的比例关系，即原型和模型对应的线性长度的比值相等，则这两个流动称为几何相似的。如以l表示某一线性尺度，则有长度比尺mplllC由此可推得其它有关几何量的比尺，例如面积和体积，比尺分别为222lmpmpACllAAC333lmpmpVCllVVC11第四章量纲分析和相似理论二、运动相似运动相似是指流体运动的速度场相似。也就是指两个流动各对应点(包括边界上各点)的速度u方向相同，其大小成一固定的比尺Cu。即mpuuuC注意到流速是位移对时间t的微商dl/dt，则时间比尺为ulmptCCttC同理，在运动相似的条件下，流场中对应点处流体质点的加速度比尺为lutumpaCCCCaaC212第四章量纲分析和相似理论三、动力相似若两流动对应点处流体质点所受同名力F的方向相同，其大小之比均成一固定的比尺CF，则这两个流动是动力相似。所谓同名力是指具有同一物理性质的力。例如，重力FG、粘性力Fμ、压力FP、弹性力FE、表面张力FT等。如果作用在流体质点上的合力不等于零，根据牛顿第二定理，流体质点产生加速度，此时可根据理论力学中的达伦贝尔原理，引进流体质点的惯性力，那么惯性力与质点所受诸力平衡，形式上构成封闭力多边形，这样，动力相似又可表征为两相似流动对应质点上的封闭力多边形相似。例如，假定两流动具有流动相似，作用在流体任一质点的力有重力FG、压力FP，粘性力Fμ和惯性力FI，见图4-1。那么两流动动力相似就要求13第四章量纲分析和相似理论mpmpmpmpIIPPGGFFFFFFFF成立。式中的脚标p、m分别表示原型和模型。(4-9)14第四章量纲分析和相似理论根据各种力的定义，可以将各种力写成最简单的形式：§4-4相似准则重力glmgFG3压力2)()(lpApFP粘性力弹性力表面张力惯性力vlllvAdyduF2)()(2ElEAFElFT2223)(lvtllmaFI在实际流动问题中，这些力有的不存在或者作用效果微小而可忽略。15第四章量纲分析和相似理论两流动相似，应具有几何相似、运动相似、动力相似以及初始条件和边界条件一致这些要求，一般来说，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定两流动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。因此，在几何相似的前提下，要保证流动相似，主要看动力相似，即应满足式(4-9)，由于惯性力相似与运动相似直接相关，因此，将(4-9)变为mIpImpIppImGIpGIFFFFFFFFFFFF,,①现将前面已给出的各种力的最简表达代入式(4-10)中，先来看(4-10)mGIpGIFFFF16第四章量纲分析和相似理论因为FI=ρv2l2，FG=ρl3g，代入上式得mpgllvgllv322322上式等号两边均为无量纲数，称为弗汝德相似准则数(简称弗汝德数)，由推导过程知道弗汝德数是惯性力与重力的比值，即glvFr2那么原型和模型流动惯性力和重力的相似关系可以表达为mpFrFr或12glvCCC即原型流动和模型流动的弗汝德数相等。17第四章量纲分析和相似理论②以同样的方法讨论式(4-10)的第二个等式mpIppIFFFF将FI=ρv2l2，Fp=(Δp)l2代入并整理得出mpvpvp22括号中的组合量也是无量纲数，称为欧拉数，即2vpEu欧拉数Eu是流动压力与惯性力的比值。18第四章量纲分析和相似理论那么压力与惯性力的相似关系可写为mpEuEu)()(或12vpCCC即原型流动和模型流动的欧拉数相等。③再来分析式(4-10)的第三个等式。mIpIFFFF将FI=ρv2l2和Fμ=μvl代入并整理得出mmmmpppplvlv19第四章量纲分析和相似理论上式等号两边的无量纲数已在前面提过，它就是雷诺数vlvlRe它是惯性力与粘性力的比值，式(4-19)说明原型流动与模型流动粘性力相似，要求原型流动与模型流动的雷诺数相等，即mp(Re)(Re)或1CCCul我们仿照前面的方法还可以讨论其它力相似的相似准则数。例如，在高速气流中，弹性力的作用不能忽略，惯性力与弹性力的比值定义为马赫数M，这是因为mEIpEIFFFF20第四章量纲分析和相似理论将FI=ρv2l2，FE=El2代入并整理得出mmmpppEvEv22根据气体动力学(见第十章)知道音速Eddpa因此相似关系可化为mmppavav流速与音速的比值就是马赫数M=v/a，那么弹性力相似，原型流动和模型流动的马赫数必相等，即mpMM21第四章量纲分析和相似理论在进行模型设计时，怎样根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应依据上节所述相似准则数相等来确定。理论上讲流动相似要求所有作用力都相似。§4-5模型律现在仅考虑粘性阻力与重力同时满足相似，也就是说要保证模型和原型中雷诺数和弗汝德数一一对应相等。由式(4-22)和式(4-14)分别得到luCCCglvCCC和通常Cg=1，则式(4-25)成为(4-24)(4-25)lvCC22第四章量纲分析和相似理论显然，要同时满足以上两个条件，必须取23lllluCCCCCC这就是说，要实现两流动相似，一是模型的流速应为原型流速的倍;二是必须按来选择流体运动粘性系数的比值，但通常对后一条件难以实现。23lCC21lC另一方面，若模型与原型采用同一种介质，即Cv=1，根据粘性力和重力的相似，有如下的条件luCC1和luCC显然，Cl与Cv的关系要同时满足以上两个条件，则Cl=1，即模型不能缩小，失去了模实验的价值。23第四章量纲分析和相似理论从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似是很难实现的。实际中，常常要对所研究的流动问题作深入的分析，找出影响流动问题的主要作用力，满足一个主要力的相似，而忽略其它次要力的相似。例如，对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷诺数不是特别大，一般其相似条件都依赖于雷诺准则数。而如行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容器壁小孔射流等则主要受重力影响，相似条件要保证弗汝德数相等。24第四章量纲分析和相似理论例.为了研究在油液中水平运动的小潜体的运动特性，用放大8倍的模型在15℃水中进行实验。物体在油液中运动速度13.72m/s，油的密度ρ油=864kg/m3，粘性系数µ=0.0258N·s/m2。(1)为保证模型与原型流动相似，模型潜体的速度应取多大?(2)实验测定出模型的阻力为3.56N，试推求原型潜体所受阻力。解：(1)因物体在液面一定深度之下运动，在忽略波浪运动的情况下，相似条件应满足雷诺准则数，即mpDvDv