东南大学 数值分析上机题作业 MATLAB版

上机作业题报告2015.1.91.Chapter11.1题目设S𝑁=∑1𝑗2−1𝑁𝑗=2，其精确值为)11123(21NN。（1）编制按从大到小的顺序11131121222NSN，计算SN的通用程序。（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222NNSN，计算SN的通用程序。（3）按两种顺序分别计算64210,10,10SSS,并指出有效位数。（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果clear;N=input('请输入N值:');Ac=single((3/2-1/N-1/(N+1))/2);Snl2s=single(0);Sns2l=single(0);fori=2:NSnl2s=Snl2s+1/(i*i-1);endfori=N:-1:2Sns2l=Sns2l+1/(i*i-1);endfprintf('精确值为：%f\n',Ac);fprintf('从大到小的顺序累加得SN=%f\n',Snl2s);fprintf('从小到大的顺序累加得SN=%f\n',Sns2l);disp('========================================================');P20T17请输入N值:10^2精确值为：0.740049从大到小的顺序累加得SN=0.740049从小到大的顺序累加得SN=0.740050============================================================P20T17请输入N值:10^4精确值为：0.749900从大到小的顺序累加得SN=0.7498521.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。2.Chapter22.1题目（1）给定初值0x及容许误差，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。（2）给定方程03)(3xxxf,易知其有三个根3,0,3321xxx○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0当),(0x时，Newton迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0x时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序𝑓(𝑥)函数m文件：fu.mfunctionFu=fu(x)Fu=x^3/3-x;end𝑓′(𝑥)函数m文件：dfu.mfunctionFu=dfu(x)Fu=x^2-1;end用Newton法求根的通用程序Newton.mclear;x0=input('请输入初值x0:');ep=input('请输入容许误差:');flag=1;whileflag==1x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);ifabs(x1-x0)epflag=0;end从小到大的顺序累加得SN=0.749900============================================================P20T17请输入N值:10^6精确值为：0.749999从大到小的顺序累加得SN=0.749852从小到大的顺序累加得SN=0.749999============================================================x0=x1;endfprintf('方程的一个近似解为：%f\n',x0);寻找最大δ值的程序：Find.mcleareps=input('请输入搜索精度：');ep=input('请输入容许误差：');flag=1;k=0;x0=0;whileflag==1sigma=k*eps;x0=sigma;k=k+1;m=0;flag1=1;whileflag1==1&&m=10^3x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);ifabs(x1-x0)epflag1=0;endm=m+1;x0=x1;endifflag1==1||abs(x0)=epflag=0;endendfprintf('最大的sigma值为：%f\n',sigma);2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。Find请输入搜索精度：10^-6请输入容许误差：10^-6最大的sigma值为：0.774597Find请输入搜索精度：10^-4请输入容许误差：10^-6最大的sigma值为：0.774600Find请输入搜索精度：10^-2请输入容许误差：10^-6最大的sigma值为：0.780000（2）运行Newton.m在（−∞，−1）内取初值，运行结果如下：X0Xk-1000-1.732051-500-1.732051-100-1.732051-10-1.732051-5-1.732051-2.5-1.732051-1.5-1.732051可见，在（−∞，−1）区间内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3。在（−1，−δ）内取初值，运行结果如下：X0Xk-0.951.732051-0.851.732051-0.81.732051-0.7745981.732051可见，在（−1，−δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3。在（−δ，δ）内内取初值，运行结果如下：X0Xk-0.7745960.000000-0.550.000000-0.350.000000-0.150.0000000.050.0000000.250.0000000.450.0000000.650.0000000.7745960.000000可见，在（−δ，δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根0。在（δ，1）内取初值，运行结果如下：X0Xk0.774598-1.7320510.8-1.7320510.85-1.7320510.95-1.732051可见，在（δ，1）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根−√3在（1，+∞）内取初值，运行结果如下：X0Xk1.51.7320512.51.73205151.732051101.7320511001.7320515001.73205110001.732051可见，在（1，+∞）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√33.Chapter33.1题目对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RI=V，其中3113000100001335901100000931100000000107930000900030577050000074730000000030410000005002720009000229R15,27,23,0,20,12,7,7,10TTV（1）编制解n阶线性方程组Ax=b的列主元高斯消去法的通用程序；（2）用所编程序线性方程组RI=V，并打印出解向量，保留5位有效数字；（3）本题编程之中，你提高了哪些编程能力？3.2程序n=input('请输入线性方程组阶数:n=');b=zeros(1,n);A=input('请输入系数矩阵：A=\n');b(1,:)=input('请输入线性方程组右端向量：b=\n');b=b';C=[A,b];fori=1:n-1[maximum,index]=max(abs(C(i:n,i)));index=index+i-1;T=C(index,:);C(index,:)=C(i,:);C(i,:)=T;fork=i+1:nifC(k,i)~=0C(k,:)=C(k,:)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:);endendend%%回代求解x=zeros(n,1);x(n)=C(n,n+1)/C(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/C(i,i);enddisp('方程组的解为:');fprintf('%.5g\n',x);3.3运行结果运行程序，输入系数矩阵和方程组右端列向量。运行过程与结果如下图所示：P126T39请输入线性方程组阶数:n=4请输入系数矩阵：A=[136.0190.8600;90.8698.81-67.590;0-67.59132.0146.26;0046.26177.17]请输入线性方程组右端向量：b=[-33.25449.7928.067-7.324]方程组的解为:-2957.44426.62495-651.49P126T39请输入线性方程组阶数:n=9请输入系数矩阵：A=[31-13000-10000;-1335-90-110000;0-931-1000000;00-1079-30000-9;000-3057-70-50;0000-747-3000;00000-304100;0000-50027-2;000-9000-229]请输入线性方程组右端向量：b=[-1527-230-2012-7710]方程组的解为:-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.29023可看出，算得的该线性方程组的解向量为：[-0.289230.34544-0.71281-0.22061-0.43040.15431-0.0578230.201050.29023]4.Chapter44.1题目（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序；（2）已知汽车门曲线型值点的数据如下：i012345678910Xi012345678910Yi2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端点条件为𝑦0′=0.8，𝑦10′=0.2，用所编程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)，i=0,1，…，9。4.2程序cleardigits(6);n=input('请输入节点数：n=');xn=zeros(1,n);yn=zeros(1,n);xn(1,:)=input('请输入节点坐标：');yn(1,:)=input('请输入节点处函数值：');dy0=input('请输入左边界条件：y’（x0）=');dyn=input('请输入右边界条件：y’（xn）=');%====================求d====================%d=zeros(n,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);fori=1:n-1h(i)=xn(i+1)-xn(i);f1(i)=(yn(i+1)-yn(i))/h(i);endfori=2:n-1f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(xn(i+1)-xn(i-1));d(i)=6*f2(i);endd(i)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%====================求Mi====================%A=zeros(n);miu=zeros(1,n-2);lamda=zeros(1,n-2);fori=1:n-2miu(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));lamda