生活中的优化问题举例一

生活中的优化问题举例(一）团结守纪、笃学上进.,.,,.问题解决一些生活中的优化数本节我们运用导值的有力工具小导数是求函数最大我们知道习前面的学过通通常称为这些问题最省、效率最高等问题最大、用料生活中经常遇到求利润，优化问题一、基础知识链接上的最小值在、函数,3051232123xxxy）会怎样？，改为（若把30,30上的最大值为，在、函数20sin)(2xxxf最小值为小？才能使四周空白面积最的尺寸如何设计海报，左、右两边各空上、下两边各空版心面积为竖向张贴的海报，要求你设计一张如图所示的现在宣传通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，、例,.12,128.12dmdmdm分析：版心面积海报总面积四周空白面积（1）建模关系式x（2）函数关系式：)0(128)2128)(4()(xxxxS（3）解模：如何求函数)0(128)2128)(4()(xxxxS最小值题型一：面积、容积最大（小）问题方法一：7285122285122)(xxxxxS基本均值不等式法：“一正二定三相等”72)(165122取得最小值为时，即当且仅当xSxxx方法二：（导数法求最值）22)16)(16(25122)(xxxxxS0S160S160）（时，当）（时，当xxxx内的唯一的极大值点，在（是函数)0)(16xSx72)16S()S(的最小值为x（4）作答：当版心的高为dm16宽为dm8海报四周面积最小:,,优化问题的基本思路是利用导数解决我们不难发现由上述例子程可归纳为：上述解决优化问题的过优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题审题——建模——解模——作答多少？容积最大？最大容积是时，箱底的子，箱底的边长是多少做成一个无盖的方底箱沿虚线折起（如图）的正方形，再把它的边余下一个边长为去相等小正方形，的正方形铁片的四角切变例：在边长为xcm6060xxxx分析：1、如何箱子容积与箱底边长关系？2、如何求出箱底边长多少时，箱子的容积最大？建模关系：正方体的体积公式问题2你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？案例二、利润最大问题瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每（？使每瓶饮料的利润最大）瓶子半径多大时，能（问最大半径为且制造商能制作的瓶子分，的饮料制造商可获利已知每出售位是厘米是瓶子的半径，单分，其中瓶子的制造成本是形瓶装的某种饮料某制造商制造并出售球问题21.62.0L1..80..12cmmrr分析：（1）利润与球形半径的关系？建模关系：利润=销售收入-销售成本（2）销售收入与销售成本如何用半径表示？（3）如何求解？解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是324()0.20.83yfxrr320.8(),3rr06r令2'()0.8(2)0fxrr当2'()0rfr时,当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．0)(',)2,0(xfr时当0)(',)6,2(xfr时当换一个角度：直接从函数的图像上观察，你有什么发现？3ry)3(8.0)(23rrrfo2从图像上容易看出吗？你能解释它的实际意义是减函数，时，当利润才为正值时，好相等，当饮料的利润与饮料瓶恰时，即瓶子的半径是时，当)((0,2)r,3r3cm,0)3(3rffr1.半径为２cm时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大未命名.gspryo)3(8.0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？。半径为司能制造的瓶子的最大不含瓶子成本），且公的利润产成本后此处利润指除出饮料生分的饮料，公司将获利出售。已知每分，瓶底为分身为似看成上底）。其中瓶近身和瓶底（将瓶盖部分瓶子的制造成本包括瓶，瓶高为子的底面半径为售圆柱形瓶装饮料。瓶可口可乐公司制造并出cmmlcmcmrcmrcm6,(1.01/.250/.10,522问：1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？2)瓶子半径多大时，每瓶饮料利润最小？h5rr分析：1、利润与瓶子半径的关系建模关系：利润=销售收入-销售成本2、销售收入与销售成本如何用瓶子半径表示？3、如何求解？问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量=磁道数×每磁道的比特数)(22)(rRrmnnrmrRrf(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。(2)为求f(r)的最大值，先计算0)(rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRr　　rfRr时当时当0)(rf　　　令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr解得例4:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？[解析]设弯成圆的一段铁丝长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为S，则正方形的边长a＝100－x4，圆的半径r＝x2π.令S′＝0，则x＝100π4＋π(cm)∴S＝πx2π2＋100－x42(0x100)又S′＝x2π＋116(x2－200x＋10000)′＝x2π－100－x8当0x100π4＋π时S′0，当100π4＋πx100时S′0，∴当x＝100π4＋π时S′取极小值，这个极小值也就是函数的最小值，故当弯成圆的铁丝长为100π4＋πcm时，面积之和最小．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？[解析](1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝3x4x＋32，当每天x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N＋)．(2)T′＝－25·(x＋32)·(x－16)(x＋8)2，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．课堂小结利用导数解决优化问题的思路之一：作业：导学案优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题审题——建模——解模——作答解决优化问题的过程：