2012考研数学模拟题带答案数学三

2012年考研数学模拟试题（数学三）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）(1)设)(xy是微分方程xeyxyxy2)1(的满足0)0(y，1)0(y的解，则20)(limxxxyx（）（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解2000()()1()1limlimlim(0)222xxxyxxyxyxyxx，将0x代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1yxyxy，又0)0(y，1)0(y，故(0)2y，所以20()lim1xyxxx，选择B.（2）设在全平面上有0),(xyxf，0),(yyxf，则保证不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的条件是（）（A）21xx，21yy.（B）21xx，21yy.（C）21xx，21yy.（D）21xx，21yy.解(,)0(,)fxyfxyx关于x单调减少，(,)0(,)fxyfxyy关于y单调增加，当21xx，21yy时，112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy，选择A.（3）设)(xf在),(存在二阶导数，且)()(xfxf，当0x时有()0fx，()0fx，则当0x时有（）（A）0)(,0)(xfxf.（B）0)(,0)(xfxf.（C）0)(,0)(xfxf.（D）0)(,0)(xfxf.解【利用数形结合】)(xf为奇函数，当0x时，)(xf的图形为递减的凹曲线，当0x时，)(xf的图形为递减的凸曲线，选择D.(4)设函数)(xf连续，且(0)0f，则存在0，使得（）（A）在(0,)内单调增加（B）在(,0)内单调减少（C）对任意的(0,)x，有()(0)fxf（D）对任意的(,0)x，有()(0)fxf解【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)(0)lim0xfxffx，由极限的的保号性，(0,)U，在此邻域内，()(0)0fxfx，所以对任意的(,0)x，有()(0)fxf，选择D.（5）二次型222123123121323(,,)44448fxxxxxxxxxxxx的规范型是（）.（A）222123fzzz.（B）222123fzzz.（C）2212fzz.（D）21fz.解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵122244244A，其特征多项式212292224400(9)24400AE，故A的特征值为9,0,0，正惯性指数1p，负惯性指数0q，选择D.（6）设1211121kAkk，B是三阶非零矩阵，且ABO，则（）.（A）当1k时，()1rB.（B）当3k时，()1rB.（C）当1k时，()2rB.（D）当2k时，()2rB.解()1BOrB，()()3()3()ABOrArBrBrA，1()3()rBrA.当1k时，()1rA，1()2rB，排除A，C，当2k时，122033111~111221003A，()3rA，1()0rB，矛盾，排除D，选择B.（7）设随机变量X与Y分别服从12N（，）和2N（1，），且X与Y不相关，1kXY与2XkY也不相关，则（）.（A）120kk.（B）120kk.（C）120kk.（D）120kk.解X与Y不相关(,)0CovXY，1kXY与2XkY不相关121122(,)(,)(,)(,)(,)CovkXYXkYkCovXXkkCovXYCovYXkCovYY1212122200kDXkDYkkkk，选择A.(8)设12,,,(2)nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本，X为样本均值，2S为样本方差，则（）（A）~(0,1)nXN.（B）22~()nSn.（C）)1(~)1(ntSXn.（D）2122(1)~(1,1)niinXFnX.解221()()DnXnDXnnn，排除A，2222(1)(1)~(1)nSnSn，排除B，1~(1)/1XnXtnSSn，排除C，选择D.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（9）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，若1lim()xfx与1lim()xfx都存在，那么a________，________b.解当1x时，21222()lim1nnnxaxbxfxaxbxx，当1x时，23222111()lim11nnnnabxxfxxxx，1lim()xfx存在11lim()lim()xxfxfx，即1ab，1lim()xfx存在11lim()lim()xxfxfx，即1ab，解得0,1ab.（10）222222021limcos()xyrxyrexydxdyr________.解由积分中值定理知，存在(,)D：2222xyr，使得222222222200211limcos()limcos()22xyrrxyrexydxdyerrr.（11）设(,)zzxy由方程()()xyxfzygz确定，且()()0xfzygz，则[()][()]________zzxgzyfzxy.解方程为(,,)()()0Fxyzxfzygzxy，()()()xzFzfzyxFxfzygz，()()()yzFzgzxyFxfzygz，[()][()]zzxgzyfzxy()()[()][()]0()()()()yfzxgzxgzyfzxfzygzxfzygz.(12)设)()(xfxF是的一个原函数，且1)0(FxxfxF2cos)()(,，则dxxf0|)(|________.解()()Fxfx=，2()()2cos2Fxfxdxxdx，2()()2cos2Fxfxdxxdx，2()sin2FxxC，又(0)1F，故1C，2()sin21Fxx，()sin21sincosFxxxx，22|cos2||cossin||()|cossin|()||cossin|xxxfxxxFxxx，40004|()|cossin(cossin)(sincos)fxdxxxdxxxdxxxdx(21)(12)22.（13）设矩阵2TAE，其中,是n维列向量，且2T，则1______A.解22(2)44()TTTTAEE126()65TEEAEAE，故256(6)EAAEAA，所以11(6)5AEA.（14）设129,,,XXX是来自正态总体X的简单随机样本，1161()6YXX27891()3YXXX，922271()2iiSXY，122()YYZS，则统计量Z服从______.解设正态总体2~(,)XN，12()0EYY，2221212()632DYYDYDY，212~(0,)2YYN，12~(0,1)/2YYN，2222~(2)S，又12YY，2S独立，12122()2()/2~(2)22YYYYZtSS.三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（10分）设()fx在(,0]上连续，且满足2222201()ln(1)12xxtftxdtxx，求()fx及其极小值.解令22,2utxdutdt，202201()()2xxtftxdtfudu，故2202211()ln(1)212xxfuduxx，再令2tx，011()ln(1)212ttfudutt即02()ln(1)1ttfudutt，对t求导，得22211()(0)(1)1(1)tfttttt，故21()(0)(1)xfxxx33()03(1)xfxxx，当3x时，()0fx，当30x时，()0fx，所以3x，()fx取得极小值1(3)8f.（16）（10分）设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上二阶可导，且()0,()0,()0fafbfa.证明：①在(,)ab内至少存在一点，使得()0f；②在(,)ab内至少存在一点，使得()0f.证①()()()()limlim0xaxafxfafxfaxaxa，由极限的保号性知，存在0，当(,)xaa时，()0fxxa，()0fx，取(,)caa，则()0fc，()fx在[,]cb上连续，又()0fc，()0fb，由零点定理知，存在(,)(,)cbab，使得()0f.②对()fx在[,],[,]accb上用拉格朗日定理，存在(,)rac，(,)scb使得()()()()0fcfafcfrcaca，()()()0fbfcfsbc，再对()fx在[,]rs上用拉格朗日定理，存在(,)(,)rsab，使得()()()0fsfrfsr.（17）（10分）求微分方程236xyyx的一个解()yyx，使得曲线()yyx与直线1,0xy所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小.解方程236xyyx化为36yyxx，其通解为333323216e(6e)(6)()6dxdxxxyxdxCxdxCxCxCxxx，旋转体体积21232036(6)(2)75CVxCxdxC，2()(2)077CVCC，又2()07VC，故7C，体积V最小，所以2367yxx.（18）（10分）计算221DIxyd，区域D由曲线22yxx和x轴围成.解画出区域D的图形，单位圆221xy将区域D分成两部分，单位圆221xy内的部分记作1D，单位圆221xy外的部分记作2D，则122222221(1)(1)DDDIxydxydxyd112cos22320003(1)(1)(1)Dxyddrrdrdrrdr23238(2coscos)183d233188[sinsinsin]1823923323941822cos22301(1)(1)Dxyddrrdr233081(2coscos)36d3305188533[sin2sinsin]18239184，故22231218DIxyd.（19）（10分）求幂级数21(1)nnnnxn的收敛域及和函数.解收敛半径2211(1)limlim1(1)(1)1nnnnnnnanRnan，当1x