考研数学二真题(2000-2018年)

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若2120lim(e)1xxxaxbx®++=，则A.1,1.2ab==-B.1,1.2ab=-=-C.1,1.2ab==D.1,1.2ab=-=2.下列函数中，在0x=处不可导的是A.()sin.fxxx=B.()sin.fxxx=C.()cos.fxx=D.()cos.fxx=3.设函数2,1,1,0,()(),10,1,0,,0.axxxfxgxxxxxbxì-£-ïïì-ïï==-³ïîï-³ïïî若()()fxgx+在R上连续，则A.3,1.ab==B.3,2.ab==C.3,1.ab=-=D.3,2.ab=-=4.设函数()fx在[0，1]上二阶可导，且10()d0,fxx则A.当'()0fx时，1()0.2fB.当()0fx时，1()0.2fC.当'()0fx时，1()0.2fD.当()0fx时，1()0.2f5.设22222222(1)1d,d,(1cos)d,1exxxMxNxKxxx则A..MNKB..MKNC..KMND..KNM6.22021210d(1)dd(1)dxxxxxxyyxxyyA.5.3B.5.6C.7.3D.7.67.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为A.111011001.B.101011001.C.111011001.D.101010001.8.设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（XY）表示分块矩阵，则A.r(AAB)=r(A).B.r(ABA)=r(A).C.r(AB)=max{r(A),r(B)}.D.r(AB)=r(ATBT).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。9.2+lim[arctan(1)arctan]xxxx=.10.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程是.11.251d43xxx=.12.曲线33cos,sinxtyt在4t对应点处的曲率为.13.设函数,zzxy（）由方程1lnezzxy确定，则1(2,)2zx=.14.设A为3阶矩阵，123,,为线性无关的向量组.若11232,2232,323，则A的实特征值为.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或深处步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2earctane1d.xxx16.（本题满分10分）已知连续函数()fx满足200()d()d.xxftttfxttax（1）求()fx;（2）若()fx在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值.17.（本题满分10分）设平面区域D由曲线sin,2π1cosxtttyt（0）与x轴围成，计算二重积分(2)ddDxyxy18.（本题满分10分）已知常数ln21k.证明：21ln2ln1xxxkx()()0.19.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.20.（本题满分11分）已知曲线24:(0)9Lyxx=³，点(0,0)O，点(0,1)A.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围图形的面积.若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.21.（本题满分11分）设数列{}nx满足：110,ee1(1,2,).nnxxnxxn+=-=证明{}nx收敛，并求lim.nnx22.（本题满分11分）设实二次型2221231232313(,,)()()(),fxxxxxxxxxax=-+++++其中a是参数.（1）求123(,,)0fxxx=的解；（2）求123(,,)fxxx的规范形.23.（本题满分11分）已知a是常数，1213027aaA可经初等列变换化为矩阵12011.111aB（1）求a;（2）求满足AP=B的可逆矩阵P.-1-2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续，则(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab（2）设二阶可到函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且()0fx，则(A)11()0fxdx(B)12()0fxdx(C)0110()()fxdxfxdx(D)1110()()fxdxfxdx（3）设数列nx收敛，则(A)当limsin0nnx时，lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时，则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx,lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1cos2)xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（5）设()fx具有一阶偏导数，且在任意的(,)xy，都有(,)(,)0,fxyfxyxy则(A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff-2-(C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线1vvt（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530()ts(/)vms1020（7）设A为三阶矩阵，123(,,)P为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123(,,)A(A)12(B)232(C)23(D)122（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100020000C，则(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为（10）设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定，则202tdydx-3-（11）20ln(1)1xdxx=（12）设函数,fxy具有一阶连续偏导数，且,1,0,00yydfxyyedxxyedyf，则,fxy=（13）110tanyxdydxx（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求030limxtxxtedtx（16）（本题满分10分）设函数,fuv具有2阶连续性偏导数，y,xfecosx,求0dydxx,220dydxx（17）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值（19）（本题满分10分）()fx在0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx，证明（1）方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根（2）方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分11分）已知平面区域22,2Dxyxyy，计算二重积分21Dxdxdy（21）（本题满分11分）设()yx是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:()Lyyx上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标(,)xy满足的方程。-4-（22）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值，且3122（1）证明()2rA（2）如果123求方程组Axb的通解（23）（本题满分11分）设132221232121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设1(cos1)axx，32ln(1)axx，3311ax.当0x时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）123,,aaa.（B）231,,aaa.（C）213,,aaa.（D）321,,aaa.（2）已知函数2(1),1,()ln,1,xxfxxx则()fx的一个原函数是（A）2(1),1.()(ln1),1.xxFxxxx（B）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（C）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（D）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（3）反常积分1021xedxx①，1+201xedxx②的敛散性为（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散.（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.（4）设函数()fx在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则-5-（A）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（B）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点.（C）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点.（D）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（5）设函数()(1,2)ifxi具有二阶连续导数，且0()0(1,2)ifxi，若两条曲线()(1,2)iyfxi在点00(,)xy处具有公切线()ygx，且在该点处曲线1()yfx的曲率大于曲线2()yfx的曲率，则在0x的某个领域内，有（A）12()()()fxfxgx（B）21()()()fxfxgx（C）12()()()fxgxfx（D）21()()()fxgxfx（6）已知函数(,)xefxyxy，则（A）''0xyff（B）''0xyff（C）''xyfff（D）''xyfff（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）1a（B）2a（C）21a-6-（D）1a与2a二、填空题：9~14小题，每小题4分，