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考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月1一.函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）()dttfyx∫=0，其中()tf连续，则()xfdxdy=（2）()()()dttfyxx∫=21ϕϕ，其中()x1ϕ，()x2ϕ可导，()tf连续，则()[]()()[]()xxfxxfdxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2．两个无穷小的比较设()0lim=xf，()0lim=xg，且()()lxgxf=lim（1）0=l，称()xf是比()xg高阶的无穷小，记以()()[]xgxf0=，称()xg是比()xf低阶的无穷小。（2）0≠l，称()xf与()xg是同阶无穷小。（3）1=l，称()xf与()xg是等价无穷小，记以()()xgxf~3．常见的等价无穷小当0→x时xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan221~cos1xx−，xex~1−，()xx~1ln+，()xxαα~11−+二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若nnxx≤+1（n为正整数）又mxn≥（n为正整数），则Axnn=∞→lim存在，且mA≥（2）若nnxx≥+1（n为正整数）又Mxn≤（n为正整数），则Axnn=∞→lim存在，且MA≤准则2．（夹逼定理）设()()()xhxfxg≤≤若()Axg=lim，()Axh=lim，则()Axf=lim3．两个重要公式公式1．1sinlim0=→xxx公式2．ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim；euuu=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim；()evvv=+→101lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当0→x时，()nnxxnxxxe0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin++++−+++−=nnnxnxxxxxΛ()()()nnnxnxxxx22420!21!4!21cos+−+−+−=Λ()()()nnnxnxxxxx01321ln132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan+++++−+−+−=nnnxnxxxxxΛ()()()()[]()nnxxnnxxx0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ6．洛必达法则法则1．（00型）设（1）()0lim=xf，()0lim=xg（2）x变化过程中，()xf′，()xg′皆存在（3）()()Axgxf=′′lim（或∞）则()()Axgxf=lim（或∞）（注：如果()()xgxf′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()xgxflim不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）()∞=xflim，()∞=xglim（2）x变化过程中，()xf′，()xg′皆存在考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月2（3）()()Axgxf=′′lim（或∞）则()()Axgxf=lim（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：()()()0000limxfxxfxxfx′=∆−∆+→∆[如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011limdxxfnkfnnkn[如果存在]三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x是函数()xfy=的间断点。如果()xf在间断点0x处的左、右极限都存在，则称0x是()xf的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[]ba,上连续的函数()xf，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1．（有界定理）如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续，则()xf必在[]ba,上有界。定理2．（昀大值和昀小值定理）如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续，则在这个区间上一定存在昀大值M和昀小值m。其中昀大值M和昀小值m的定义如下：定义设()Mxf=0是区间[]ba,上某点0x处的函数值，如果对于区间[]ba,上的任一点x，总有()Mxf≤，则称M为函数()xf在[]ba,上的昀大值。同样可以定义昀小值m。定理3．（介值定理）如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续，且其昀大值和昀小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[]ba,上至少存在一个ξ，使得()cf=ξ推论：如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续，且()af与()bf异号，则在()ba,内至少存在一个点ξ，使得()0=ξf这个推论也称为零点定理五．导数与微分计算1．导数与微分表()0=′c()0=cd()1−=′αααxx（α实常数）()dxxxd1−=ααα（α实常数）()xxcossin=′xdxxdcossin=()xxsincos−=′xdxxdsincos−=()xx2sectan=′xdxxd2sectan=()xx2csccot−=′xdxxd2csccot−=()xxxtansecsec=′xdxxxdtansecsec=()xxxcotcsccsc−=′xdxxxdcotcsccsc−=()axxaln1log=′()1,0≠aaaxdxxdalnlog=()1,0≠aa()xx1ln=′dxxxd1ln=()aaaxxln=′()1,0≠aaadxadaxxln=()1,0≠aa考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月3()xxee=′dxedexx=()211arcsinxx−=′dxxxd211arcsin−=()211arccosxx−−=′dxxxd211arccos−−=()211arctanxx+=′dxxxd211arctan+=()211cotxxarc+−=′dxxxdarc211cot+−=()[]22221lnaxaxx+=′++()dxaxaxxd22221ln+=++()[]22221lnaxaxx−=′−+()dxaxaxxd22221ln−=−+2．四则运算法则()()[]()()xgxfxgxf′±′=′±()()[]()()()()xgxfxgxfxgxf′+′=′⋅()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf2′−′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡()()0≠xg3．复合函数运算法则设()ufy=，()xuϕ=，如果()xϕ在x处可导，()uf在对应点u处可导，则复合函数()[]xfyϕ=在x处可导，且有()[]()xxfdxdududydxdyϕϕ′′==对应地()()[]()dxxxfduufdyϕϕ′′=′=由于公式()duufdy′=不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4．由参数方程确定函数的运算法则设()txϕ=，()tyψ=确定函数()xyy=，其中()tϕ′，()tψ′存在，且()0≠′tϕ，则()()ttdxdyϕψ′′=()()0≠′tϕ二阶导数()()()()()[]3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxydϕϕψϕψ′′′′−′′′=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5．反函数求导法则设()xfy=的反函数()ygx=，两者皆可导，且()0≠′xf则()()()[]ygfxfyg′=′=′11()()0≠′xf二阶导数()()[]()dxdydxxfddyygdyg11⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=′=′′()()[]()[]()[]{}33ygfygfxfxf′′′−=′′′−=()()0≠′xf6．隐函数运算法则设()xyy=是由方程()0,=yxF所确定，求y′的方法如下：把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允许出现y变量）7．对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数()[]()xgxfy=常用的一种方法考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月4()()xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8．可微与可导的关系()xf在0x处可微()xf⇔在0x处可导。9．求n阶导数（2≥n，正整数）先求出,,,Λyy′′′总结出规律性，然后写出()ny，昀后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）xey=()xney=（2）()1,0≠=aaayx()()nxnaayln=（3）xysin=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2sinπnxyn（4）xycos=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2cosπnxyn(5)xyln=()()()nnnxny−−−−=!111两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式()()[]()()()()()∑=−=nkknkknnxvxuCxvxu0其中()!!!knknCkn−=，()()()xuxu=0，()()()xvxv=0假设()xu和()xv都是n阶可导。微分中值定理一．罗尔定理设函数()xf满足（1）在闭区间[]ba,上连续；（2）在开区间()ba,内可导；（3）()()bfaf=则存在()ba,∈ξ，使得()0=′ξf二．拉格朗日中值定理设函数()xf满足（1）在闭区间[]ba,上连续；（2）在开区间()ba,内可导；则存在()ba,∈ξ，使得()()()ξfabafbf′=−−或写成()()()()abfafbf−′=−ξ()baξ有时也写成()()()xxxfxfxxf∆⋅∆+′=−∆+θ000()10θ这里0x相当a或b都可以，x∆可正可负。推论1．若()xf在()ba,内可导，且()0≡′xf，则()xf在()ba,内为常数。推论2．若()xf，()xg在()ba,内皆可导，且()()xgxf′≡′，则在()ba,内()()cxgxf+=，其中c为一个常数。三．柯西中值定理（数学四不要）设函数()xf和()xg满足：（1）在闭区间],[ba上皆连续；（2）在开区间()ba,内皆可导；且()0≠′xg则存在()ba,∈ξ使得()()()()()()ξξgfagbgafbf′′=−−()baξ（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()xxg=时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）设()xf在0x处有n阶导数，则有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月5()0xx→其中()()[]nnxxxR00−=()0xx→称为皮亚诺余项。()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−→0lim00nnxxxxxR前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如()xxxex+1ln,cos,sin,和()αx+1（α为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设()xf在包含0x的区间()ba,内有1+n阶导数，在[]ba,上有n阶连续导数，则对[]bax,∈，有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ其中()()()()()101!1++−+=nnnxxnfxRξ，（ξ在0x与x之间）称为拉格朗日余项。上面展开式称为以0x为中心的n阶泰勒公式。当00=x时，也称为n阶麦克劳林公式。如果()0lim=∞→xRnn，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。导数的应用：一．基本知识1．定义设函数()xf在()ba,内有定义，0x是()ba,内的某一点，则如果点0x存在一个邻域，使