傅里叶变换的基本性质

3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若)()(11jFtf)()(22jFtf则)()()()(2121jbFjaFtbftaf(3-55)其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数)(jF。解因)sgn(2121)()(ttUtf由式(3-55)得jjttUjF1)(221)(221)sgn(21121)()(二、对称性若)()(jFtf)(2)(fjtF(3-56)证明因为dejFtftj)(21)(有dejFtftj)()(2dejFtftj)()(2将上式中变量换为x，积分结果不变，即dxejxFtfjxt)()(2再将t用代之，上述关系依然成立，即dxejxFfxj)()(2最后再将x用t代替，则得)()()(2jtFdtejtFftj所以)(2)(fjtF证毕若)(tf是一个偶函数，即)()(tftf，相应有)()(ff，则式(3-56)成为)(2)(fjtF(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如1)()()(jFttf)(2)(21)(fjtF例3-7若信号)(tf的傅里叶变换为02)(AjF2/2/试求)(tf。解将)(jF中的换成t，并考虑)(jF为的实函数，有02)()(AtFjtF2/2/tt该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为)2(2)(SaAtF根据对称性)(2)(ftF故)2()(SaAf再将)(f中的换成t，则得)2()(tSaAtf)(tf为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。图3-20)(jFA2/02/f(t)0tE/2/2三、折叠性若)()(jFtf则)()()()(jFjFjFtf为虚函数为实函数)()(tftf(3-58)四、尺度变换性若)()(jFtf则)(1)(ajFaatf(a为大于零的实常数)（3-59)证明因a＞0，由dteatfatftj)()(令atx，则adtdx，代入前式，可得)(1)()(/ajFaadxexfxfaxj证毕函数)(atf表示)(tf沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而)(ajF则表示)(jF沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知0)(Etf4/4/tt,求频谱函数)(jF。解前面已讨论了0)(0Etf2/2/tt的频谱函数，且)2()(0SaEjF根据尺度变换性，信号)(tf比)(0tf的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数)4(2)2(21)(0SaEjFjF两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。图3-21E2/02/)(0jF0E/2/2t)(0tfE4/04/t)(tf)(jF02/E/4五、时移性若)()(jFtf则0)()(0tjejFttf(3-60)此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域)(tf平移时间0t，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变0t。例3-9求0)(Etfttt,00的频谱函数)(jF。解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有2/)2()(jeSaEjF六、频移性若)()(jFtf则00)(jFetftj(3-61)证明)()()()(0)(000jFdtetfdteetfetftjtjtjtj证毕频移性说明若信号)(tf乘以tje0，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以tje0，这就使频谱中的每条谱线都必须平移0，亦即整个频谱相应地搬移了0位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号)(tf乘以所谓载频信号t0cos或t0sin，即)()(21cos)(000jFjFttf)()(2sin)(000jFjFjttf七、时域微分性若)()(jFtf则)()()(jFjdttfdnnn(3-62)证明因为dejFtftj)(21)(两边对t求导数，得dejFjdttdftj)(21)(所以)()()(jFjdttdf同理，可推出)()()(jFjdttfdnnn证毕例3-10求)()()(ttfn的频谱函数)(jF。解:因为1)(t由时域微分性njjF)()(例3-11图3-22所示信号)(tf为三角形函数01)2()(tttftt求其频谱函数)(jF。解:将)(tf微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为)(1)(2)(1)(''ttttf由微分性1cos2)2(1)()()(2''jjeetfjtf所以)2()2/()2/(sin)()1(cos2)(2222Sajtft)/(tf(t)10t(t)f0/1/1-t(t)f0)/(1)/(1)/(-2(a)(b)(c)图3-22八、频域微分性若)()(jFtf则djdFjttf)()(nnnndjFdjtft)()()((3-63)例3-12求)()(ttUtf的频谱函数)(jF。解:因为jtU1)()(根据频域微分性2'1)(1)()(jjddjttU九、时域积分性若)()(jFtf则)()0()()(FjjFdttft(3-64)例3-13根据1)(t和积分性求)()(tUtf的频谱函数。解:因为1)(t又tdxxtU)()(根据时域积分性)(1)(jtU例3-14求图3-23所示信号)(tf的频谱函数)(jF。解:)(tf对t求两次微分后，得)2/(1)2/(1)(''tttf且)2sin(211)(2/2/''jeetfjtj由时域积分性)2()2sin(2)(0)2sin(2)()('''Sadxxftft)2(1)()()0()2sin(2)()(2'SajSajdxxftft(a)(b)(c)图3-23tf(t)102/2/tf(t)102/2//1tf(t)0)/(-1)/(12/2/十、频域积分性若)()(jFtf则dxjxFjtfttfj)(1)(1)()0(1(3-65)例3-15已知tttf)sin()(，求)(jF。解:因为)1()1()1()1(22)(21)sin(jjeejtjtjt根据频域积分性)1()1()1()1(1)sin(UUdxxxjjtt十一、时域卷积定理若)()(11jFtf)()(22jFtf则)()()()(2121jFjFtftf(3-66)证明ddtetffdtedtfftftfFtjtj)()()()()()(212121)()()()()()(121221jFjFdefjFdejFftjtj证毕例3-16图3-24(a)所示的三角形函数01)(ttftt可看做为两个如图3－24(b)所示门函数)(tG卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数)(jF。tf(t)10t(t)G102/2/1(a)(b)图3-24解：因)2(2)2sin()(SatG又1)()()(tGtGtf所以)2()(2SajF例3-17一个信号)(tf的希伯特变换)(tf是)(tf和t1的卷积，即dtfttftf)()(11)()(解：因为jt2)sgn(则对称性)sgn(2)sgn(22jt有)sgn(1jt由时域卷积定理)()sgn(1)()(jFjttftf即)()sgn()(jFjjF十二、频域卷积定理若)()(11jFtf)()(22jFtf则)()(21)()(2121jFjFtftf(3-67)或)2()2()()(2121fjFfjFtftf例3-18利用频域卷积定理求)()(ttUtf的傅里叶变换)(jF。解：因为jt)('由对称性)(2)(2''jt有)(2'jtjtU1)()(所以根据频域卷积定理)()(ttUtf有''''')1()()(1)()(1)()(221)(jjjjjF即)1()()(2'jjF十三、帕塞瓦尔定理若)()(11jFtf)()(22jFtf则djFjFdttftf)()(21)()(2121(3-68)可推广djFdttf2121)(21)((3-69)若)(1tf为实函数，则djFdttf)(21)(2121(3-70)若)(1tf,)(2tf为实函数，则djFjFdttftf)()(21)()(2121(3-71)例3-19求dSa)(2。解：因dSaSadSa)(2)(22142)(2又)()(22tGSa由帕塞瓦尔定理可得dttGtGdSa)()(2)(222十四、奇偶性若)()()()()()(jXReFjFtfj，则(1)当)(tf为实函数时，则)()()()()(FjFF)()()()(XXRR(3-72)若)(tf为实偶函数，即)()(tftf，则0)()()()(XRFjF(实偶函数)(3-73)若)(tf为实奇函数，即)()(tftf，则0)()()(RjXjF(虚奇函数)(3-74)(2)当)(tf为虚函数，即)()(tjxtf时，则