克莱姆法则

§1.3克莱姆法则我们已经知道,在一定条件下,二元(或三元)线性方程组的解可以用二阶(或三阶)行列式表示出来.那么,对于n元线性方程组能否用n阶行列式来表示?1.克莱姆法则2.齐次线性方程组有非零解的充要条件nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111定理二(克莱姆法则)设线性方程组的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD一、克莱姆法则则该线性方程组有且仅有唯一解:DDxDDxDDxnn,,,2211其中Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的n阶行列式.即nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111,111,111定理中包含三个结论:(1)方程组有解(2)解是唯一的(3)解由公式(j=1,2,...,n)给出DDxjj注:用克莱姆法则解线性方程组必须有两个前提条件:(1)未知数个数等于方程个数(2)系数行列式D0例1解线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解:方程组的系数行列式6741212060311512D=270由克莱姆法则知,方程组有唯一解67402125603915181D=81=10867012150609115822DDDx112781=3DDx2227108=460412520693118123D=2707415120903185124D=27DDx332727=1DDx442727=1因为x1=0,x2=0,,xn=0就是一个解,它称为零解.二、齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组:000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然,齐次线性方程组总是有解的.齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解,即非零解?定理三如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式D=0.[证]由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解.与已知矛盾若D0D=0由定理三可知,齐次线性方程组的系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.综合上述,得到:齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式D=0.注:在第四章将会看到,D=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件.例2取何值时,下述齐次线性方程组有非零解?0)1(0)1(0)1(321321321xxxxxxxxx解:111111111D=(+3)2齐次线性方程组有非零解D=0=3或0