第七讲拉氏变换傅氏变换与Z变换-资料

第七讲拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系序列的付里叶变换离散系统的系统函数及频率响应jze2.5拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系图1-34S平面与Z平面多值映射关系Re[z]jIm[z]j3/T－3/T－/T/TS平面－1Z平面o1os=σ+jΩz=rejωr=eσTω=ΩT2.5.1拉普拉斯变换与序列的Z变换左——单位圆内右——单位圆外虚轴——单位圆nnnnaznxznTxzX)()()()(ˆ)()(sXeXzXasTezSTnzTsezsT11)(1)(ˆskaajksXTsXkTjsXTjksXTzXkaskaezST21)(1)(2.5.2连续信号的傅氏变换与序列的Z变换kaTjkaaTjezkTjjXTeXkTjjXTjXeXzXTj21)(21)(ˆ)(|)(采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换（频谱）。)(ˆjXa2.5.3序列的傅氏变换与Z变换sfT数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值.kaTajezTkjXTjXeXzXj21)(ˆ)()(/单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z，得到序列傅里叶变换的定义为njnjenxeXnxF)()()]([序列的傅里叶反变换公式deeXdzzzXjeXFnxnjjnzj)(21)(21)]([)(11||1其收敛条件为nnx|)(|2.6序列的傅氏变换图1-35序列及其傅里叶变换x(n)112340nX(ej)2－o2N－2N表2-3序列傅里叶变换的主要性质表2-3序列傅里叶变换的主要性质表2-4傅里叶变换对2.10离散时间系统的频域分析（ω域和Z域）在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为mmnhmxnhnxny)()()()()(对等式两端取Z变换，得)()()(zXzHzY则)()()(zXzYzHH(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即nnznhnhZzH)()]([)(在单位圆上(z=ejω)的系统函数就是系统的频率响应H(ejω)。nnjjenhnhFeH)()]([)(因果系统单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统，因果系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即||zRx稳定系统一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即nnh|)(|而Z变换的收敛域由满足的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ejω)存在。nnznh|)(|因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，即1||xxRzR也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。2.10.2系统函数和差分方程的关系一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N阶常系数线性差分方程的一般形式为NkMkkkknxbknya00)()(若系统起始状态为零，可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得NkMkkkkkzXzbzYza00)()(系统函数为NkkkMkkkzazbzXzYzH00)()()(系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。将其分别进行因式分解，可得NkkMkkzdzcabzH111100)1()1()(z=ck是H(z)的零点z=dk是H(z)的极点例2-23已知系统函数为111112112111)21(21123)(zzzzzzH2|z|≤∞求系统的单位脉冲响应及系统性质。解系统函数H(z)有两个极点z1=0.5,z2=2。从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。)(2)(21)(nununhnn由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。111112112111)21(21123)(zzzzzzH例2-24系统函数不变，但收敛域不同。2||21z求系统的单位脉冲响应及系统性质。解收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得)1(2)(21)(nununhnn由于存在2nu(-n-1)项，因此系统是非因果的。2.10.3系统频率响应的意义对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：x(n)=ejωn-∞n∞线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为njmnjmmnjmemheemhmnxmhnhnxny)()()()()()()()(式中:mjnjeHemh)()(y(n)=ejωnH(ejω)上式表明，当线性时不变系统输入是频率为ω的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(ejω)。显然，H(ejω)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率ω的变化。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由H(ejω)决定。故称H(ejω)为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。线性时不变系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的连续周期函数,是复函数。它可以写成模和相位的形式)](arg[|)(|)(jeHjjjeeHeH式中，频率响应的模|H(ejω)|叫做振幅响应（或幅度响应），频率响应的相位arg|H(ejω)|叫做系统的相位响应。系统频率响应H(ejω)存在且连续的条件是h(n)绝对可和，即要求系统是稳定系统。例2-27设输入为)()(222)cos()(21)()(00000nxnxeeAeeAeeAnAnxnjjnjjnjnj的响应为njjeeAnx02)(1njjjeeAeHny002)()(1对的响应为njjeeAnx02)(2njjjeeAeHny002)()(2根据线性系统的叠加原理可知系统对正弦输入Acos(ω0n+φ)的响应为])()([2)()()(000021jjjnjjjeeeHeeeHAnynyny如果h(n)是实序列，则可证明H(ejω0)满足共轭对称条件，即)()(00*jjeHeH因此有:|)(|arg|)(|arg|)(||)(|0000jjjjeHeHeHeH可得响应为)|)(|arg()|)(|arg()|(|arg)|(|arg00000000000|)(|2|)(||)(|2)(jjjjeHnjeHnjjnjjeHjjnjjeHjjeeeHAeeeeHeeeeHAny即)]}(arg[cos{|)(|)(000jjeHneHAny从这个例子可以看出，当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ejω)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。这正是线性时不变系统的基本特性。正因如此，信号和系统的频域（傅里叶变换）表示法在离散线性系统中是很有用的。利用傅里叶变换性质得到F［y(n)］=F［x(n)*h(n)］即Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)对于线性时不变系统，其输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换与系统频率响应的乘积。|Y(ejω)|=|H(ejω)|·|X(ejω)|arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］例2-28设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定)1(21)()1(21)(nxnxnyny设系统是因果的。（1）求该系统的单位脉冲响应；（2）由(1)的结果，求输入x(n)=ejπn的响应。解（1）Z变换可得)(21)()(21)(11zXzzXzYzzY系统函数：12112211211)()()(111zzzzXzYzH系统函数H(z)仅有一个极点，z1=1/2，因为系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含∞，所以收敛域为|z|1/2。该收敛域又包括单位圆，所以系统也是稳定的。对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为)()(212)]([)(1nnuzHZnhn或)1(21)()1(21)(21)(1nunnununhnnn（2）解法一：系统的频率响应为jjezjeezHeHj211211)()(由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入x(n)=ejπn时，应用公式（1-125），可得输出响应为njjjnjjeeeeeHnxny31211211)()()(解法二：()()()()()()1112()1312jnmjnjmmmjjnjjnjnjynxnhnhmeehmeeeHeeee2.10.4频率响应的几何确定法NkkMkkMNNkkMkkdzczzabzdzcabzH11)(00111100)()()1()1()(NkkjNkkjjdeceabeH1100)()()(()0101()()NkjjjkNkkCbHeHeeaDkkjjkkkjjkkkCecCeDedDeNkkNkkjDCabeH1100|)(|NkkNkka11)(频率响应的幅度函数就等于各零点至ejω点向量长度之积除以各极点至ejω点向量长度之积，再乘以常数b0/a0。而频率响应的相位函数等于各零点至ejω点向量的相角之和减去各极点至ejω点向量相角之和。当频率ω由0到2π时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。频率响应的几何表示法－1jIm[z]c1C1od1d2D1D21Re[z]|H(ej)|o2()－2o例2-29设一个因果系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|1,a为实数求系统的频率响应。解将差分方程等式两端取Z变换，可求得||||11)()()(1azazzXzYzH单位脉冲响应为)()(nuanhn该系统的频率响应为sin)cos1(111)()(jaaaezHeHjezjj幅度响应为2/12)cos21(|)(|aaeHj相位响应为cos1sinarctan)](arg[)(aaeHj一阶离散系统的各种特性|H(ej)|2oarg[H(ej)]－h(n)oon(a)(b)(c)2例2-30设系统的差分方程为10)()1()