1.3.3--导数的实际应用

1.3.3导数的实际应用引入:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．最优化问题例如:圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定其高与底半径,才能使它的用料最省？1.理解导数在解决实际问题中的作用.（重点）2.能利用导数知识解决实际中的最优化问题.(难点）3.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.(难点）探究点1:导数在几何问题中的应用ax例1.有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？x分析:,x设截去的小正方形的边长为,2,xax则容器的高为底面边长为,Vx然后构建容积关于的函数关系式进而转化为函数的最值问题解决.设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x),2()(2),02aVxaxxx有，解:322()44+,02aVxxaxaxx即，22()128Vxxaxa所以12110,62Vxxaxa令解得:或xVxVx10,x极大值1(,)2ax01x（舍去）1,()6axxVx所以当时最大.,6a即当截下的小正方形边长为时容积最大.例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？dhx解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2，横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数,k0)，所以f(x)=kx(d2－x2)，0xd，令f'(x)=k(d2－3x2)=0，123333xdxd解得或（舍去）xfxfx10,x极大值1(,)xd01x13,()3xxdfx所以当时最大.3633,dd即当宽为时横梁的，高为强度最大.应用题解题的一般思路：数学问题实际问题数学问题的结论实际问题的结论数学解答数学化检验回到实际问题问题解决探究点2:导数在用时问题中的应用例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送.火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？分析:设点C与点B的距离为xkm.22150300()0300.3050xxTxx则，T(),x运输时间为进而转化为函数的最值问题解决.解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间22150300()3050xxTx(0≤x≤300).因为2222(150)'150xxx，所以221'().5030150xTxx令，则有22531500xx，2253150xx，'()0Tx即25x2=9(1502+x2)，解此方程，得x=±291503150112.544舍去负值，取x=x0=112.5.因为T(0)=11，T(300)≈11.2，T(112.5)=22150112.5187.5103050则10是11，11.2和10中的最小者，所以点C选在与点B距离为112.5km处,运输时间最短.探究点3:导数在经济问题中的应用例4.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最小？分析:利润等于收入减去支出.324()0.20.83frrr则，(),fr设每瓶饮料的利润为06r进而转化为函数的最值问题解决.324()0.20.83frrr则320.8(),3rr06r()020frrr令，解得或)(rfr0)('rf)2,0(2)6,2(答:瓶子的半径为6cm时，能使每瓶饮料的利润最大;瓶子的半径为2cm时，能使每瓶饮料的利润最小.(0)0,(6)28.8ff又因为(),fr设每瓶饮料的利润为解:2(r)0.8(2)frr所以极小值（舍去）6,(r)2,(r)rfrf所以当时最大,当时最小.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价为多少时，宾馆的利润最大？分析:利润等于收入减去支出.()(18010)(50)20(50)Wxxxx则，(),Wx宾馆的利润为元050x进而转化为函数的最值问题解决.【变式练习】+,x设房间定价为(18010)元解:'()0,17Wxx令解得17xW所以当时，利润最大,1801017350此时房价为元.答：房间定价350元时，宾馆的利润最大2103408000xxx0)17,0(17)50,17()('xf)(xf(),Wx宾馆的利润为元+,x设房间定价为(18010)元()(18010)(50)20(50)Wxxxx则,050.x极大值'()20340,Wxx探究点4:导数在物理问题中的应用例5.在如图所示的电路中，已知电源的电动势为，内电阻为r，问当外电阻R取什么值时，输出功率最大？解:输出功率,其中为电流强度，则：2PIRIRr222()(0)()RPRRRrRr22224()()[()]()RRrRRrPRr23()()rRRr0PRr由，解得：当时，取得最大值，最大值为Rr24Pr答：当外电阻等于内电阻时,输出功率最大．RPP0,r极大值(,)r0rP设矩形的长为x，面积为S(x),2()()+,0222lllSxxxxxx有解:()22lSxx所以10,4lSxx令解得:xVxVx10,x极大值1(,)2lx01x2max()()416llSxS所以=.216l即矩形的最大面积为.x2lx1.用长为l的铁丝围成一个矩形，求矩形的最大面积.2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？依题意得h(x)＝(1128000x3－380x＋8)·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，解:h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.313x=40y=40-408=7128000801007=17.540h(x)（1）当时，，故从甲地到乙地要耗油（升）.（2）设耗油量为，当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？分析:,h设圆柱的高为R,底面半径为(),SRh然后构建表面积关于或的函数关系式进而转化为函数的最值问题解决.解:RRSRS3(0,)2V极小值3(,)2V032V设圆柱的高为h，底半径为R，由V=πR2h，得2VhR2222VRRR则表面积S=S(R)=2πRh+2πR2222VRR22()40,VSRRR令32VR解得332,2(R)22VVRhhRS所以当,时即时，最大.答：当饮料罐的高与底直径相等时，所用材料最省.1.最优化问题.2.应用题解题的一般思路：数学问题实际问题数学问题的结论实际问题的结论数学解答数学化检验回到实际问题问题解决日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦