1.2.1《排列(二)》

1.2.2排列（二）复习巩固从n个不同元素中，任取m()个元素（m个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.nm1、排列的定义：2.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数nmmnA3.全排列的定义：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.(3)全排列数公式：n1)(n321!nAnn4.有关公式：.阶乘：n!1（2）排列数公式:n)mN*,(m、nm)！(nn！1)m(n1)(nnAmn例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是1821314214A例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？题型一简单的排列问题--不作任何特殊限制例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？练习：将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有种不同的分配方案.例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。648899181919AAA6488992919AA从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：百位十位个位A390百位十位个位A290百位十位个位A2964822939AA根据加法原理从元素出发分析解法三：间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为，A310.648898910A310A29∴所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为.A29逆向思维法例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？练习：(1)8个人排成一排，共有种不同的排法；(2)8个人排成两排，前后两排各4人，共有种不同的排法；(3)8个人排成两排，前排3人后排5人，共有种不同的排法.解决排列问题的常用方法：1、排列问题背景丰富，无特定模式和规律可循。一般来说，解决排列问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类。2、解决排列问题通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，再去掉不符合要求的排列.元素分析法位置分析法间接法用数字1,2,3组成三位数，其个数是否为A33？为什么？提示：不是，A33只是各位上的数字不相同的三位数的个数，数字相同时，也适合题意，如：111,121等，应该用乘法原理求解为：33＝27.问题探究“在”与“不在”的问题排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．题型二有约束条件的排列问题--特殊元素(或位置)优先法7位同学站成一排．(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？例1【思路点拨】这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．【解】(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66＝720种排法．(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A22种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共A22A55＝240种排法．(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共A25A55＝2400种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共A25A55＝2400种排法．(4)法一：分两类，乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55，故共有A66＋5×5A55＝3720种排法．法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A77－2A66＋A55＝3720种排法．【误区警示】本题注意区分(3)、(4)的区别，在(4)中易错解为A77－2A66.反思与感悟解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.(1)先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法是直接分步法；．(2)按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法是直接分类法．(3)先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法是间接法(排除法）．跟踪训练2五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？解方法一(先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从五个学生中选出两个坐在排头和排尾，有A25种方法，余下的四人可任意站，有A44种方法，所以符合要求的排法为A25·A44＝480(种).方法二(先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A14种方法.五个学生在余下的五个位置中任意排列，有A55种排法.因此符合题意的排法为A14A55＝480(种).方法三(间接法)由于六个人任意排有A66种排法，但实际必须除去老师排在排头的A55种方法和排在排尾的A55种方法，因而有A66－2A55＝480(种).例2用0,1,2,3,4,5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？解分三步：①先选百位数字.由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个).(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？解分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.故所求三位数共有5×6×6＝180(个).(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？解分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个).例2用0,1,2,3,4,5这六个数字(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个).因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个).(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？解分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个.故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个).例2用0,1,2,3,4,5这六个数字元素相邻和不相邻问题的解题策略“邻”与“不邻”问题限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空档中7人站成一排．(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？例3【思路点拨】元素相邻，可以视为一个元素，即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起，视为一个元素，与其他元素一起排列．至于不相邻问题，可以用“总”的排法减去“相邻”的排法，也可以用插空法解决．例37人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？解(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法.甲、乙两人可交换位置，有A22种排法，故共有A66·A22＝1440(种)排法.(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？解方法一(间接法)7人任意排列，有A77种排法，甲、乙两人相邻的排法有A22·A66种，故甲、乙不相邻的排法有A77－A22·A66＝3600(种).方法二(插空法)将其余5人全排列，有A55种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法.故共有A55·A26＝3600(种)排法.(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？解(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55·A33＝720(种)排法.(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？解(插空法)将其余4人排好，有A44种排法.将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法.故共有A44·A35＝1440(种)排法.反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.互动探究2对于本例中的7人，（1）若甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？（2）甲乙两人相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A15种方法.第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A55种方法.第三步：甲、乙及中间1人的排列为A22.根据分步乘法计数原理得A15×A22×A55＝1200，故有1200种排法.互动探究2对于本例中的7人，（2）甲乙两人相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？练习：(1)(北京)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为.(2)(重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是.(3)(北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的为摆法有种.补充练习：(1)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有种.(2)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是.在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素在排列时，则不再考虑其他顺序．“固定”顺序的排列7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【思路点拨】(1)甲、乙、丙排序一定，即不再考虑他们三人的顺序．(2)“甲在乙的左边”即固定了甲、乙的前后顺序．例4解方法一7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、