3通量和环量

工程电磁场第一章矢量分析1第一章矢量分析1.1矢量场的通量与散度1.2矢量场的环量与旋度1.3亥姆霍兹定理工程电磁场第一章矢量分析21.1矢量场的通量与散度1.1.1通量1、定义有向曲面S——其大小为S、方向沿曲面的垂直方向ds的曲面。如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量总和称为通量。表达式：SSdsnvsdv若曲面为闭合曲面：Ssdv从定义看出：通量表明矢量穿过曲面的量的大小，是一个标量。未闭合曲面的指向与其周线走向呈右旋关系（见图1.15）；闭合曲面的指向其外法向（见图1.16）。有向曲面元—有向曲面S上的微分有向曲面元。ddnSSananadS矢量场F穿过有向曲面元dS的通量曲面S上各面元dS叠加，分别得开曲面和闭曲面的通量看出矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量。dddcos1.35aFSFSdd1.35bd1.35cnSSSSFSFaFS工程电磁场第一章矢量分析50通过闭合曲面有净的矢量线穿出0有净的矢量线进入0进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。3、通量的物理意义工程电磁场第一章矢量分析61.1.2散度(研究某点处的通量特性）1、定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。0ddivlimSVFSFV工程电磁场第一章矢量分析72、散度的计算1Szyx6S5S4S3S2S在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：F123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddSSSFSFSFSzzyyxxeFeFeFF整个封闭曲面的总通量：dyxzSFFFFSxyzxyz工程电磁场第一章矢量分析8该闭合曲面所包围的体积：zyxV0ddivlimSVFSFVzFyFxFzyx通常散度表示为：divFF工程电磁场第一章矢量分析91.1.3散度定理ddSVFSFV物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。高斯定理工程电磁场第一章矢量分析101.2矢量场的环量与旋度1.环量（环流）：有向曲线——其大小为，方向沿的切线方向的曲线。在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量是标量，其大小与回路的形状和取向有关。cosllFdlFdllllta工程电磁场第一章矢量分析11工程电磁场第一章矢量分析121.2矢量场的环量与旋度0说明无环流存在，即闭合曲线内无漩涡源0说明闭合曲线内含有产生环流的源——漩涡源0dlim(1.45)lnSSFlnaSllS●矢量场环量面密度设矢量场F中任一点P由有向闭曲线包围，的正向与其所界定面积的法向矢量呈右旋关系（见图1.26），当趋近于零时，F在点P处的环量面密度定义为如下比值的极限，表明环绕方向旋转的强弱情况。2.环量面密度：（考察点附近的环流状态）na在矢量场中过给定点可以存在无数方位的有向曲面，其相应法线也有无数个方向，表明是与方向有关的不确定的标量值。但在无数个方向中必定只存在一个具有最大变化率的环量面密度，它是由特定方向确定的矢量。n●矢量场旋度的定义设矢量场F在点P变化率最大时的环量面密为，该变化率最大的方向用单位矢量表示，则F在点P的旋度定义为一个矢量，记为namaxmaxmnRa0maxdrotlim(1.46)lnSSFlFa当时，与重合。此时，说明指向环量面密度最大的方向。看出旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环量（最大环量面密度或最大环量源强度），其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向。旋度用于表示旋涡源产生的旋涡场，其矢量线为包围旋涡源的无头无尾的闭曲线，其绕行方向与旋涡源方向呈右旋关系。0mn，RanamRmaxmRmRmRn由图1.26看出与的投影关系ncos(,)(1.47)mnmmnRaRRa●旋度在直角坐标系中的表达式（证明略）rot(1.48)yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFyzzxxyxyzFFFFaaaaaaF工程电磁场第一章矢量分析183.斯托克斯定理：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。()ddSlFSFl梯度、散度和旋度的比较1．三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，揭示了场的特性也不同。梯度场、散度场和旋度场变化方式的比较。2．三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的场对应于不同性质的场源。3．标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数。这些函数分别表示梯度场、散度场和旋度场。散度场（或无旋场）～散度源（或通量源）旋度场（或无散场）～旋度源（或旋涡源）标量场的梯度场（或位场）～散度源（或通量源）亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定。式中纵场Fn表示无旋场，横场表示无散场。设g和G分别表示通量源（例如）和旋涡源（例如J），则无旋场和无散场分别满足方程tF+(1.56)ntFFF,(1.57a)0,(1.57b)nnttgFFFFG1.3亥姆霍兹定理对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57a、b）知看出矢量场F由g和G产生的无旋场和无散场唯一确定。(1.58a)(1.58b)ntgFFFFG1.3亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理是矢量场的场点性质的判别准则。按场的无旋性和无散性可将场分为如下类型：（1）无散无旋场，如无源空间中的静电场；（2）有散无旋场，如有源空间中的静电场；（3）无散有旋场，如有源空间中的静磁场；00，FF0g，FF00，FFG0J（4）有散有源场，如有源空间和时变磁场中的电场。亥姆霍兹定理总结了矢量场的场点性质，是研究电磁场与电磁波的重要基础。g，FFG00tB1.3亥姆霍兹定理工程电磁场第一章矢量分析250,0FF0.0FF0,0FF0,0FF工程电磁场第一章矢量分析26试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00