-高等数学上册第九章答案

1习题9-1多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域：（1）22ln()+1xzyxxy；（2）22arccoszuxy2.求下列各极限：（1）(,)(0,0)24limxyxyxy；（2）(,)(0,0)lim21xyxyxye；（3）(,)(2,0)tan()limxyxyy.（4）2222()lim()xyxyxye令22uxy，原式1limlim0uuuuuee（5）22223,0,022sinlimxyxyxyxy令22txy，则原式23220001sin1cos12limlimlim336tttxtttttt2习题9-2偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos()zxyxy；（2）(1)yzxy；（3）arctan()zuxy.（4）设23yzxyx，其中u可导，证明22zzxyxyxy解222,33zyzyyxyxxyxxyx左边22222233zyyxyxyxyyxyxxyxx右边2.求下列函数的22zx，22zy和2zxy.（1）arctanyzx；3（2）xzy.习题9-3全微分1.求下列函数的全微分：（1）yxze；（2）yzux.（3）sin2yzyuxe.解11,cos,22yzyzuuyuzeyexyz，所求的全微分为1cos22yzyzydudxzedyyedz‘（4）222tanzyxu解2222222secxxyzuxxyz，2222222secyxyzuyxyz42222222seczxyzuzxyz2222222secxyzduxdxydyzdzxyz2.求函数yzx，当2x，1y，0.1x，0.2y时的全增量和全微分。3.设,,zxfxyzy，求1,1,1df解111,1,111,1zfxfxzyyx1121,1,11,1zfxxfyzyyy21,1,11ln,0zfxxfzyyzz故1,1,1dfdxdy习题9-4多元复合函数的求导法则1.设2lnzuv，而xuy，32vxy，求zx，zy.2.设arcsin()zxy，而3xt，34yt，求dzdt.53.设2()1axeyzua，而sinyax，coszx，求dudx.4.求函数(,,)ufxxyxyz的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）5.设()zxyxFu，而yux，()Fu为可导函数，证明zzxyzxyxy.6.设22()zfxy，其中f具有二阶导数，求22zx，2zxy，22zy.6习题9-5隐函数的求导公式1.设22lnarctanyxyx，求dydx.2.设lnxzzy，求zx及zy.3.设(,)uv具有连续偏导数，证明由方程(,)0cxazcybz所确定的函数(,)zfxy满足zzabcxy.74.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）22201xyzxyz，求dxdz，dydz.（2）2200uvxuvy，求,,,uuvvxyxy解方程组两边分别对,xy求偏导数得2121,141420uvuuvvxxuvxuvxuvvxx82012,141421uvuyyuvuuvyuvyuvvyy习题9-6多元函数微分学的几何应用1.求曲线()(sin)(1cos)(4sin)2trftttitjk在与02t相应的点处的切线及法平面方程。2.求曲线22ymx，2zmx在点000(,,)xyz处的切线及法平面方程。3.求曲线2223023540xyzxxyz，在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。94.求椭球面22221xyz上平行于平面20xyz的切平面方程。105.在曲面xyz上求一点，使这点处的法线垂直于平面093zyx，并写出这法线方程．解设所求点为),,(000zyx，yzx,xzy，法向量)1,,()1,,(00xyzznyx，由题意知113100xy，得,1,300yx30z法线方程：133113zyx习题9-7方向导数与梯度1.求函数22zxy在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数。2.求函数uxyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。113.求函数uxyz在球面2221xyz上点000(,,)xyz处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。4.设222(,,)23326fxyzxyzxyxyz，求(0,0,0)gradf及(1,1,1)gradf.5.求函数2uxyz在点0(1,1,2)P处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。126.求函数zxyu)(在)1,1,1(0P沿着方向)1,1,2(l的方向导数oPlu．解：,1)()(0021PzPxyxyzxu,1)1()(001PzPxxyzyu,0)ln()(00PzPxyxyzu)61,61,62(0l.61)61(061162)1(0Plu习题9-8多元函数的极值及其求法1.求函数22(,)(2)xfxyexyy的极值。2.求函数zxy在适合附加条件1xy下的极大值。3.在平面xOy上求一点，使它到0x，0y及2160xy三直线的距离平方之和为13最小。4.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？5.求函数11(,)(0)zfxyxyxyxy的极值解:2211,xyzyzxxy令0,0(,)(1,1)xyzzxy332,1,22,1,2xxxyyyzxzzyABC230ACB，且0A所以(,)(1,1)xy为函数的极小值点，极小值为(1,1)3f6.求表面积为6而体积最大的长方体的体积.解设长方体的长,宽,高分别为,,xyz,则问题归结为在满足条件2()xyyzzx=6时求长方14体的体积Vxyz的最大值.它的拉格朗日函数为(,,,)(3),0,0,0,Lxyzxyzxyxzyzxyz令()0,()0,()0LLLyzyzxzxzxyxyxyz,有()0()0()030yzyzxzxzxyxyxyxzyz解方程组有1xyz长方体的最大体积为1.复习题九1.求函数2224(,)ln(1)xyfxyxy的定义域，并求1(,)(,0)2lim(,)xyfxy152.设2222222,0(,)0,0xyxyfxyxyxy，求(,)xfxy，(,)yfxy.3.求下列函数的一阶和二阶偏导数：（1）2ln()zxy；（2）yzx.4.设(,,)zfuxy，yuxe，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy.165.设cosuxev，sinuyev，zuv，试求zx和zy.6.求螺旋线cosxa，sinya，zb在点(,0,0)a处的切线及法平面方程。177.已知(,)xy具有连续偏导数且(,)0xzyz确定函数(,)zzxy，试计算zzxy解:12(1)()0zzxx112zx12()(1)0zzyy212zy1zzxy8.已知二元函数(,),(,)uxyvxy在区域D内满足（1）具有连续偏导数；（2）,uvuvxyyx，22uvC（C常数）；证明(,),(,)uxyvxy在区域D内均为常数证(1)当0C时,0,uv从而(,),(,)uxyvxy均为常数.(2)当0C时,由22uvC,两边关于,xy分别求偏导数得220220uvuvxxuvuvyy又,vuvuxyyx,则上述方程组变为220220uyuuuvxuvuxy其系数行列式22224()0,22uvuvvu所以0,uuxy且0vvxy,18从而(,),(,)uxyvxy均为常数.9.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用1x（万元）及报纸广告费用2x（万元）之间的关系有如下的经验公式：221028321415),(yxxyyxyxR（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。解：(1)利润函数为221028311315)(yxxyyxyxRL令)45,43(,45,4302083104813yxyxyLxyxL为),(yxL唯一的驻点25.39)45,43(L（万元）当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25.39万元，此即为最佳广告策略.(2)利润函数为221028311315)(yxxyyxyxRL求广告费用为5.1万元的条件下的最佳广告策略，即为条件：5.1yx下，),(yxL的最大值令)5.1(1028311315),(),(),(22yxyxxyyxyxyxLyxF令5.1,005.102083104813''yxyxyxFxyFyx，这是唯一的驻点，又由题意知),(yxL一定存在最大值，故39)5.1,0(L（万元）为最大值.10.试证曲面2xyz上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为定值证明:设0000(,,)Mxyz为曲面上任意一点令(,,)Fxyz2xyz12xFx;12yFy;12zFz19切平面方程：000000111()()()0xxyyzzxyz切平面在三坐标轴上的截距分别为0002,2,2xyz所以截距和为0002222xyz