第三章-函数概念及性质

第三章函数3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质使学生会求一些简单函数的定义域使学生会用描点法画简单函数的图像3．1函数的概念及其表示教学目标使学生理明函数的概念及三种表示方法函数的概念、函数的表示方法教学重点函数的概念、函数模型的建立教学难点师生共同讨论法教学方法变量在某一问题的研究过程中，可以取不同数值的量称为变量.常量在某一问题的研究过程中，保持数值不变的量称为常量.函数与自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量.定义域函数的自变量允许取值的范围，称为这个函数的定义域.正比例函数定义域是一切实数的函数y=（k是不等于零的常数）称为正比例函数，其中常数k称为比例系数.回顾初中接触过的函数相关概念复习回顾3．1函数的概念及其表示xk反比例函数定义域是不等于零的一切实数的函数y=（k是不等于零的常数）称为反比例函数，其中常数k称为比例系数.一次函数定义域是一切实数的函数y=kx+b（k是不等于零的常数）称为一次函数.二次函数定义域是一切实数的函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）称为二次函数，其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.(本节中，函数、定义域等概念将得到进一步深化).xk3．1函数的概念及其表示3．1函数的概念及其表示根据初中学过的知识，写出下列两个实例中函数解析式及定义域面积正方形面积y是边长x的函数，可表示为y=.它的定义域为．x3510100…y…3．1函数的概念及其表示个人所得税按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，超过2000元不超过5000元的部分，需缴纳15%的个人所得税．设某人月收入的应纳税所得额为x元（2000＜x≤5000），其中2000元到5000元部分个人缴纳的所得税为y元.这里y是x的函数，可表示为y=.它的定义域为．x2100300040005000y3．1函数的概念及其表示在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作y=f(x),x∈D其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定义域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域（range）．小结3．1函数的概念及其表示1．函数的两大要素2.求函数的定义域的方法定义域对应关系解析式有意义如分母不为0，偶次根式不为负实际背景允许3．1函数的概念及其表示例求下列函数的定义域：（1）y=2x2-3x+1（2）y=（3）y=（1）由于x为任何实数，函数y=2x2-3x+1都有意义，所以这个函数的定义域为(-∞,+∞)．23xx232xx例题解析解3．1函数的概念及其表示（2）函数的定义域由不等式组x-3≠0确定．解不等式组，得x≥2,且x≠3所以这个函数的定义域为[2,3)U(3,+∞)．（3）函数的定义域由不等式3x-x2-2≥0确定，解不等式，得1≤x≤2所以这个函数的定义域为[1，2]．3020xx≥例题解析解补充例题1下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）y=()2（2）y=33（3）y=2（1）y=()2=x(x≥0)，这个函数与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义城不同，所以这两个函数不是同一个函数。（2）y=3=x(x∈R)，这个函数与函数y=x（x∈R）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这两个函数是同一个函数。xx3．1函数的概念及其表示例题解析xxx解解3．1函数的概念及其表示（3）y=2=|x|=这个方程与函数y=x（x∈R）的定义域都是实数集R，但是当x＜0时它的对应关系与y=x（x∈R）不相同，所以这两个函数不是同一个函数.补充例题2已知圆的半径为x，面积为y，写出y关于x的函数关系式，并求出它的定义域。由圆的面积可知y=πx2定义域为（0，+∞）例题解析x解00xxxx≥＜知识巩固13．1函数的概念及其表示1．写出反比例函数和一次函数的函数关系一般形式，并确定它们的定义域和值域。2．用一段长为40米的篱笆围一块矩形绿地，矩形一边长为x米，面积为y平方米，请写出y关于x的函数关系式，并求它的定义域。3．求下列函数的定义域：（1）y=3x-1（2）y=（3）y=)2)(1(xx1xx3．1函数的概念及其表示12例1已知二次函数f(x)=x2+2x-3,求f(0),f(1),f()以及f(a-1)的值．当x=0时，f(0)=02+2×0-3=-3．当x=1时，f(1)=12+2×1-3=0．当x=时，f()=()2+2×-3=-．当x=a-1时，f(a-1)=(a-1)2+2×(a-1)-3=a2-4．例题解析3．1函数的概念及其表示1274121212解例题解析3．1函数的概念及其表示例2用计算器计算下列函数值（精确到0.01）：(1)已知函数f(x)=，求f(2.4)的值．(2)已知函数f(x)=，求f(1.72)的值．(3)已知函数f(x)=x3，求f(3.21)的值．用计算器算得：（1）f(2.4)=≈-0.83（2）f(1.72)=≈1.31（3）f(3.21)=3.213≈33.08小结：①求x对应的函数值，只要把x的值直接代到函数解析式中去进行计算就可以了。②如无特别说明，所有计算都可以用计算器计算。2xx解例题解析3．1函数的概念及其表示例3用描点法作函数y=的图像．函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)．列表：21x21xx…－4－2－1－0.5…0.5124…y…0.10.314…410.30.1…解例题解析3．1函数的概念及其表示图3-2小结：描点法作图流程：确定定义域→列表→描点→连线。例题解析3．1函数的概念及其表示例4图3—3是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天温度随时间变化的图像．图中，每一时刻t（单位：小时），都对应着唯一一个温度T（单位：℃）．因此，温度T是时间t的函数，即T＝f(t)．图3—3例题解析3．1函数的概念及其表示（1）写出函数T＝f(t)的定义域和值域．（2）指出下午18点整时的气温．（3）指出全天有多长时间气温不低于14℃？（4）描述全天的气温随时间增高和降低的情况．例题解析3．1函数的概念及其表示由函数图像可知：（1）函数T＝f(t)的定义域是［0，24］，值域是［10，25］．（2）下午18点整时的气温约为20℃．（3）从6点开始一直到20.5点共有14.5个小时气温不低于14℃．（4）0点到3点以及13点到24点内气温随时间降低，3点到13点内气温随时间升高．小结：用解析法、列表法和图像法表示函数各有利弊，可以根据需要择优而用，也可以将其中几种方法结合使用。解知识巩固23．1函数的概念及其表示1．已知函数f(x)=，求f(-3),f(1),f(0)+f(2)以及f(a-2)(a≠0)的值．2．用描点法作函数y=的图像．3．作出函数y=x2-1，x∈{0，1，2，3}的图像．212xx1x知识巩固23．1函数的概念及其表示4．图3—4是某种品牌的自动电加热饮水机在不放水的情况下，内胆水温实测图(室温20℃)．根据图像回答：(1)水温从20℃升到多少度时，该机停止加热？这段时间多长？(2)该机在水温降至多少温度时，会自动加热？从最高温度降至该温度的时间多长？(3)再次加热至最高温度，用了多长时间？函数的表示方法3．2函数的基本性质讲授法教学方法教学难点函数奇偶性的判定函数单调性的判定教学目标理解奇偶性的意义,会判断简单函数的奇偶性理解函数单调性的概念,会判断简单函数的单调区间会求同区间上简单函数的最大值与最小值教学重点奇函数偶函数的概念函数单调性的概念3．2函数的基本性质偶函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的x∈D，却有f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数，如y=x2为偶函数。奇函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的x∈D，都有f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数，如y=非奇非偶函数：如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则称为非奇非偶函数.2x节菜单3．2函数的基本性质思考：1．奇函数，偶函数的定义域有什么特征？（关于原点对称）2．偶函数的图像一定是轴对称图形，反之成立吗？3．奇函数的图像关于原点成中心对称，反之成立吗？节菜单例题解析3．2函数的基本性质例1利用定义，判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=（2）f(x)=x3-2x（3）f(x)=x-2（4）f(x)=x2-2x,x∈［-2，3］2x（1）函数f(x)=的定义域为D=（-∞，0）∪（0，+∞）由于对于任意的x∈D，都有f(-x)===f(x)所以函数f(x)=是偶函数．（2）函数f(x)=x3-2x的定义域D=(-∞,+∞）．由于对于任意的x∈D，都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x)所以函数f(x)=x3-2x是奇函数．2xx22x例题解析3．2函数的基本性质2x解例题解析3．2函数的基本性质（3）函数f(x)=x-2的定义域D=(-∞,+∞)．取x=1，有f(-1)=-1-2=-3，f(1)=1-2=-1因此函数f(x)不是偶函数．同样，由于f(-1)≠-f(1)，因此函数f(x)也不是奇函数．所以函数f(x)=x-2是非奇非偶函数．（4）函数f（x）=x2-2x,x∈［-2，3］的定义域为D=［-2，3］由于定义域D不关于原点对称，所以函数f(x)=x2-2x,x∈［-2,3］是非奇非偶函数．解例题解析3．2函数的基本性质例2如图3—10，已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整．图3—10解因为函数y=f(x)是奇函数，所以它的图像关于原点对称，利用对称性作出函数的另一半图像．具体作法如下：例题解析3．2函数的基本性质第一步，如图3—11a所示，在y轴右边的图像上适当取几个点O，A，B，C（一般取能够反映主要特征的点）；第二步，画出这些点关于原点的对称点O,A′，B′，C′，用一条光滑曲线顺次连结这些对称点，就得到了y=f(x)的完整图像，如图3—11b所示．补充例题1判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=|x-1|+|x+1|（2）f（x）=（x-1）（1）因原函数定义域为Rf（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）所以f（x）是偶函数（2）因≥0得x∈（-1，1）函数定义域不关于原点对称所以f（x）是非奇非偶函数。11xx3．2函数的基本性质11xx解知识巩固13．2函数的基本性质1.利用定义，判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=3x2-7（2）f(x)=-2x（3）f(x)=-2x+3（4）f(x)=31x23x3．2函数的基本性质知识巩固12．如图3—12，已知偶函数y=f(x)在y轴左边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整，并比较f(1)与f(3)的大小．图3—12节菜单3．2函数的基本性质知识巩固13．如图3—13，已知奇函数y=f(x)在y轴右边部分的图像，试把函数y=f(x)的图像画完整，并求f(-4)的值．图3—133．2函数的基本性质增函数、减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)＜f(x2)3．2函数的基本性质我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，简称增函数（increasingfunction），其图像沿x轴的正方向上升，如图3-15a所示.如果对于任意的x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)我们就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，简称减函（decreasingfun