浙江大学2011-2012数学分析(1)-试卷及答案(baidu)

1/5共5页浙江大学2011-2012学年秋冬学期《数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A）课程号：061Z0010，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期：2012年1月11日，考试时间：120分钟.考生姓名：学号：所属院系：_题序一二三四五六总分得分评卷人一、0251lim()lim3.1xxxxfxAx叙述“”的定义并用“”语言证明（6分）00002()()00013214()().lim()..0min{1}00251251322.lim3.111xxxfxUxAxxxxxxxxfxAfxxxxAfxxxA设在内有定义，如果存在常数，对，，当时，不妨令，则：对，，，当，有；则称在处有极限，记作：：因此二、计算下列极限：（每题6分，共18分）1.21limcos.xxx21211cos12cos101limcoslim1(cos1).xuxuuuxuuex令2.200arctanlimarcsinxxtdtxx22230003330003322200arctanarctanarctanlimlimlimarcsin[()]()662arctan26lim6lim4.33xxxxxxxxtdttdttdtxxxxxxxoxxoxxxxxx2/5共5页3.tan0.xxnxeexn设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tantan3330000(1)tan1limlimlimlim1313.3xxxxxnnnnxxxxeeeexxxxxxxxxn，因此，，三、导数及应用：（每题7分，共21分）1.1arctan.12xyxx设，求：该曲线在处的切线方程2121111(1)2(1)1211111..242xyxxxxxxxyxyx，则：故，在处的切线方程为2.222024cos().sintxududydyyyxdxdxyt设函数是由参数方程所确定，求：，342242444cos42(1)2.(2).2cos2coscosdydydyttdytdtdttdxdxdxttdxtttdtdt3.2(2012)0(2).xxyxxey设，计算：(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122xxxxxxxxxxyxxeCxxeCxxexxexeexxexeey因此，013=4050156.四、计算下列积分：（每题7分，共28分）1.ln(1)xxdx222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242xxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxxC3/5共5页2.620(21)6.xxxdx662200332233(21)6(21)9(3)(3)63(27)979.2xxxdxxxdxxuuuduudu令3.10.1xxdxx22222tan1422220002124220002(1).11(1)2=2sin11(1)3132.4228(2)sin2sincos.3sintan2sincos2sin.18utxuuuxdxduxuuxuuxdxudutdtxuuxudxuuduxxdxuuuuduudux令：，则：，则：令：，则：则：4.2110()().xtfxedtfxdx设，计算：22111111000001()()().22xxeefxdxxfxxfxdxxedx五、:1.CyxlClxD从原点引曲线的切线，曲线、切线及轴所围平面图形为(1)(2)2.DDx计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积（9分）21322221111222001(1)(21).211(2)211.23144(3)212(2)121(1).335444(2)(1).335lyxADSxdxVxxdxxxdxVxdyydy切线的方程为，切点，的面积或：4/5共5页六、证明题：（每题6分，共18分）1.113lim11().41nnnnnxxxnNxx设存在并计算，证明：其极限，21121111311(1)()()0.().41(41)11111(2).1()().22222(3){}.2()().3{}{}.(4nnnnnnnnnnnnnxfxfxfxxxxxxxfxfxxxxxxfxfxxxx【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim.lim.41221(1){}.21113112110.2224122(41)11.{}.222(2){}.3nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxnNxxxxxxxxxxxxxxxx设，则：故，【方法二】：数列有下界：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.{}.4141(41)(41)(3)(1)(2){}{}.3111lim.lim.4122nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，5/5共5页2.().()[)()fxIfxagx叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，[)lim[()()]0.()[).xafxgxgxa在，上连续，且证明：在，上一致连续(1)00()()().li(2)()[)00()().300.m[()()]0()(300)xxxIxxffxaxfxfxIfxgxfxgxxxfxfxGxGxx由于在，内一致连续，则对，，当时，由于对，，当时，则：对，对，，当、，且时，，当，则称在区间上一致连续，、[1)()()()()()()()()()()()()()().()[1).()[1]()[).GxxgxgxgxfxfxfxfxgxgxfxfxfxfxgxgxGgxaGgxa，，且时，因此，在，内一致连续而，在，上一致连续，因此，在，内一致连续3.2240()[02](02)()2(2).xfxefxdxf设在，上连续，在，内可导，且(02)()2().ff证明：，，使得2222242(1)()()()()2().(2)(02)2()2(2)()(2).()(2).(3)()[2](2)(2)(02)()0.()2().xxFxefxFxefxxfxeffefefFFFxRolleFff令：，则：根据积分中值定理，，使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，，，使得即：