二元一次方程组的实际应用

1/10教学内容课题：二元一次方程组及一元一次方程的实际应用教学目标1、学会列关于行程问题的一元一次方程；2、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；3、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；4、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值重点掌握列关于行程问题的一元一次方程的方法；会用二元一次方程组解决实际问题。难点会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组【基础知识回顾】1、行程问题基本量的关系：路程＝速度×时间2、直线追击问题的等量关系：（1）同地不同时：慢者行驶的路程＋先行的路程＝快者行驶的路程（2）同时不同地：快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝间隔的距离3、直线相遇问题的等量关系：甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝全程。4、环形问题等量关系：（1）环形追击：快者所行路程－慢者所行路程＝环形周长（2）环形相遇：甲行驶的路程＋乙行驶的路程＝环形周长5、航船问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度－水流速度【例题讲解及思维拓展训练】例题1、甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度是60千米/小时。乙车速度是40千米/小时。若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？【思维拓展训练一】1、某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地，实际上他乘小货车行了三分之一路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达。已知小货车的车速是36千米/小时，求两地间的路程。例题2、甲步行由上午7时从A地出发，于下午6时到达B地；乙骑自行车由上午11时从A地出发，于下午4时到达B地。问乙在什么时间追上甲？2/10【思维拓展训练二】1、全校师生去体育场参加运动会。步行的同学以5千米/时的速度出发18分钟后，骑自行车的同学才以14千米/时的速度按原路追赶。骑自行车的同学需要多少时间可以追上步行的同学？例题3、甲、乙两人分别从相距50米的A、B两处同时外出散步，相向而行，甲每秒行3米，乙每秒行2米。甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每秒10米的速度向乙奔去，遇到乙即回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住。问这只狗共跑了多少米？【思维拓展训练三】1、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，已知甲的速度比乙快3千米/时，两人从上午8时出发，到上午10时相距15千米，到中午12时两人又相距15千米。求A、B两地间的距离。例题4、一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中的速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28小时，求甲、乙两码头之间的距离。【思维拓展训练四】1、一轮船往返A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时。求轮船在静水中的速度及A、B两港之间的航程。3/10例题5、甲、乙两人在8千米的环城公路上跑步，甲每分钟跑220米，乙每分钟跑180米。（1）若两人同时同地反向而跑，经过多少时间首次相遇？（2）若两人同时同地同向而跑，经过多少时间首次相遇？（3）若甲先跑10分钟，乙再从同地反向出发，还要多少时间两人首次相遇？（4）若甲先跑10分钟，乙再从同地同向出发，还要经过多少时间两人首次相遇？【思维拓展训练五】1、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑道一圈长400米，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑8米。如果甲、乙两人在跑道上相距8米，同时反向出发，那么经过几秒两人首次相遇？实际问题与二元一次方程组（1）要点突破一、列二元一次方程组解决实际应用问题一般步骤（1）审清题目的数量关系，用字母表示未知量；（2）找出能够表示题目全部含义中的两个等量关系；（3）根据等量关系列出方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案和答。注意：①解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。②“设”“答”两步，都要写清单位名称。③一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。典例剖析：4/10例1：(2007年黄冈市)某城区中学5月份开展了与农村偏远学校“手拉手”的活动.九（3）班苗苗同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆株笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元.你知道苗苗同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？思路探索：本题有两个未知数圆珠笔的支数和钢笔的支数，有两个相等关系“圆株笔和钢笔共8支”“共用去了20元钱”，因此我们考虑列二元一次方程组解这个问题。解析：设圆珠笔共买了x支，钢笔共买了y支。根据题意得：8520xyxy，解得：53xy答：圆珠笔共买了5支，钢笔共买了3支。规律总结：当我们遇到两个量之间出现两种等量关系时，可以考虑列二元方程组解题。虽然本题也可列一元一次方程，而且解起来也方便多了，当相比较而言，列二元一次方程组比列一元一次方程更直接.从算术方法到方程，这次用列方程组代替列方程，这些都是用计算来代替思考，从而减轻思考的难度。课时达优：1、一个两位数，个位上的数比十位上的数的2倍多1，将十位数字与个位数字调换位置，则比原两位数的2倍还多2，则原两位数是__________2、一艘轮船顺流航行时，每小时行32千米，逆流航行时，每小时行28千米，则轮船在静水中的速度是每小时行________千米。3、（2007年辽宁十二市）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6∶5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A、65,240xyxyB、65,240xyxyC、56,240xyxyD、56,240xyxy实际问题与二元一次方程组（2）要点突破一、列方程（组）解应用题的注意事项5/10列方程（组）解应用题的步骤可简记为审、设、列、解、检、答，其中审题是前提，列方程组是关键，二列方程组的关键是找出相等关系。设元的方式有两种：一是直接设元，问什么，设什么。另一种是间接设元，所“设”不是所“求”，而是一个中间元，通过中间元，得到所求的未知量。检验应带着两个目的，一是检验所求的未知数是否满足所列方程组，二是检验在未知数的值满足方程组的前提下，考虑未知数的值是否满足生活实际。特别需要注意的是：设未知数时，未知量的单位必须明确写出；列方程组时，务必使等式两边的代数式所表达的意义相同，单位一致，但方程中不出现单位。典例剖析：规律总结：题目出现多个变量的应用题，我们要仔细阅读题目，利用题目中的相等关系转化未知量，从而减少设元，减轻计算量。例：用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。60cm思路探索：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出一个关于x、y的二元一次方程组。解析：设每块地砖的长为xcm与宽为ycm。根据题意得：6023xyxxy，解得：3624xy答：每块地砖长为36cm，宽为24cm。规律总结：有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系。课时达优：1、（2007年绵阳市）学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则甲票、乙票的票价分别是A、甲票10元∕张，乙票8元∕张B、甲票8元∕张，乙票10元∕张C、甲票12元∕张，乙票10元∕张D、甲票10元∕张，乙票12元∕张2、一农户有鸡、羊若干只，共计有头40个，脚136只，该农户养鸡、羊各多少只？6/103、甲、乙两地相距140千米，一艘货轮在其间航行，已知顺流时用了7小时，逆流时用了10小时，求这艘货轮在静水中的速度和水流的速度各是多少？实际问题与二元一次方程组（3）要点突破一、列二元一次方程组解决实际问题的常用方法；（1）多变量的问题常用列表的方式解决，因为利用表格可清楚地反映数量之间的变量关系，从而容易看出多变量之间的联系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的。解决应用题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂。我们应该根据具体的题目选择设的未知数的个数。（2）借助“线段图”分析复杂的行程问题，列二元一次方程组解行程问题常见类型有两种，一是速度已知，这种类型的特征是速度已知，时间和路程以相等关系的形式给出，我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组；二是时间已知，路程和速度以相等关系的形式给出，这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组。不可能路程已知，如果已知路程，那么列出的方程必是分式方程。（3）形积变化问题，常常利用变化前后图形的面积和体积不变来列出方程。典例剖析：例1：政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整．调整后生活用水价格的部分信息如下表：用水量（m3）单价（元/m3）5m3以内（包括5m3）的部分25m3以上的部分x7/10已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．请你通过上述信息，求出表中的x.思路探索：本题的两个相等关系分别为小晶家水费19元和小磊家水费31元。解析：设小晶家5月份用水ym3，则小磊家5月份用水1.5ym3。可列方程组52(5)1952(1.55)31xyxy＋＋，解得243xyx，即38xy答：表中的x的值为3。规律总结：根据本题中的相等关系虽然列出的是二元二次方程组，但我们可以把这个方程组看作是关于xy和y的二元一次方程组，然后求解。例2：某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．思路探索：（1）本题有两个未知数“1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐”，两个相等关系“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”（2）计算出“5个大餐厅和2个小餐厅”能够提供的吃饭的人数，然后跟5300相比较。解析：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，根据题意，得2168022280.xyxy，解这个方程组，得960360.xy，答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．（2）因为960×5＋360×2＝5520＞5300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．规律总结：题中出现多个相等关系的题目就要考虑使用二元一次方程组，尽管题目的问题可能问的不是直接求未知数的值。探究：教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？8/10设问1.如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．设问2.如何确定题中数量关系？列表分析产品x吨原料y吨合计路运费（元）路运费（元）价值（元）由上表可列方程组解这个方程组，得毛利润=销售款－原料费－运输费因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多___