随机变量及其分布方法总结经典习题及解答

概率、统计案例知识方法总结一、离散型随机变量及其分布列1.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列奎屯王新敞新疆3.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…⑵P1+P2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一:离散型随机变量分布列的性质1．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝an(n＋1)(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(12＜ξ＜52)的值为A．23B．34C．45D．56答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2．有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。解：由题知2，3，4，5∵2表示前2只测试均为没电，∴151)2(2622AAP∵3表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴152)3(36221412AACCP∵4表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴15451151)4(463324124644AACCAAP∵5表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴158)5(5644341256443412AACCAACCP∴分布列为2345P151152154158三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1．条件概率：称)()()|(APABPABP为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。2.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与_B、_A与B、_A与_B都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A、B同时发生记作A·B，则有P（A·B）=P（A）·P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)3.独立重复试验:在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：Pn（k）=CknPk（1－p）n－k,其中，k=0,1,2，…,n.5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn由于knkknqpC恰好是二项展开式001110()nnnkknknnnnnnqpCpqCpqCpqCpqLL中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．6.两点分布：X01P1－pp7.超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则},,min{,,1,0,)(nMmmkCCCkXPnNknMNkM其中，NMNn,。称分布列X01…mPnNnMNMCCC00nNnMNMCCC11…nNmnMNmMCCC为超几何分布列，称X服从超几何分布。四、热点考点题型题型1.条件概率[例1]一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设事件(12)iAi，表示第i次按对密码⑴211()9PAA⑵事件12AA表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910PAAPAPAA⑶设事件B表示最后一位按偶数，事件112AAAA表示不超过2次按对密码，因为事件1A与事件12AA为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412()()()5545PABPABPAAB说明：条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法题型2.相互独立事件和独立重复试验[例2]某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率P=(13)3＝127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为P＝C32(13)2(23)＋C33(13)3＝727答:（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为127（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为727.说明：除注意事件的独立性外,还要注意恰有k次发生与指定k次发生的区别,对独立重复试验来说,前者的概率为(1)kknknCpp,后者的概率为(1)knkpp题型3:两点分布与超几何分布的应用[例3]高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有550C种方法，没有女生的取法是051535CC，恰有1名女生的取法是141535CC，恰有2名女生的取法是231535CC，恰有3名女生的取法是321535CC，恰有4名女生的取法是411535CC，恰有5名女生的取法是501535CC，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P051535550CCC141535550CCC231535550CCC321535550CCC411535550CCC501535550CCC题型4:独立重复试验与二项分布的应用例题4：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.解：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ服从参数为10,2,3超几何分布：P（ξ=0）=31038CC=157，P（ξ=1）=3102812CCC=157，P（ξ=2）=3102218CCC=151，所以ξ的分布列为012P157157151（2）放回抽样时，抽到次品数η:B（3,0.2）：P（η=k）=Ck8·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列为0123PC080.83C180.82·0.2C280.8·0.22C380.23五、离散型随机变量的期望和方差1．数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E11px22px…nnpx…为ξ的数学期望，简称期望．2.期望的一个性质:()EabaEb3.若ξ:B（n,p），则Eξ=np奎屯王新敞新疆4.方差:D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…．5.标准差:D叫做随机变量ξ的标准差．6.方差的性质：DabaD2)(；7.若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)六、热点考点题型题型一：离散型随机变量的期望与方差例题1：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望3E，标准差为62。（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解析：(1)由233,()(1),2Enpnpp得112p,从而16,2np的分布列为0123456P164664156420641564664164(2)记”需要补种沙柳”为事件A,则()(3),PAP得16152021(),6432PA或156121()1(3)16432PAP例题2：一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A，8767()109815PA.即这箱产品被用户接收的概率为715．（2）的可能取值为1，2，3．1P=51102，2P=45892108，3P=452897108，∴的概率分布列为：123P514584528∴E=45109345282458151．七、正态分布1.正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(Rxexfx式中,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差。当0=1，时得到标准正态分布密度函数：221,,26xfxex.2.正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；③曲线在x＝处达到峰值21；④曲线与x轴之间的面积为1；3.,是参数,与图象的关系:①当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；②当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。(1)P)(x=0.683；(2)P)22(x=0.954(3)P)33(x=0.997八、热点考点题型考点一：正态分布的应用例题1：某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2Rxexfx，则下列命题不正确的是（）A．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D．该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B例题2：设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则c=()A.1B.2C.3D.4答案:B九、独立性检验与回归分析1、独立性检验：22列联表：为了研究事件X与Y的关系，经调查得到一张22列联表，如下表所示1Y2Y合计1Xabab2Xcdcd合计acbdnabcd卡方统计量，它的表达式是2经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.当根据具体的数据算出的26.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当23